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2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第二章第6节对数与对数函数
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第6节 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1).
知 识 梳 理
1.对数的概念
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式： logaN＝(其中a>0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1).
3.对数函数的图象与性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
y＝ax称为y＝logax的反函数，反之，y＝logax也称为y＝ax的反函数.一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x).它们的图象关于直线y＝x对称.
[常用结论与微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a
(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.
(4)若0
2.(新教材必修第一册P127T3改编)log29×log34＋2log510＋log50.25＝( )
A.0 B.2 C.4 D.6
解析 原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)
＝4＋log525＝4＋2＝6.
答案 D
3.(教材必修1P83例2改编)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
解析 ∵01.∴c>a>b.
答案 D
4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A.a＋b
∴0<＋＝log0.30.4<1，即0<<1.
又a>0，b<0，故ab
5.(2019·苏州调研)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a>1，c>1
B.a>1，01
D.00，即logac>0，所以0
6.(2020·无锡调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝
log2(－x)＋m，且f＝，则m＝________.
解析 由f＝，且f(x)为奇函数.
∴f＝－f＝－，因此log2＋m＝－，则m＝1－.
答案 1－
考点一 对数的运算
【例1】 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B.10 C.20 D.100
(2)计算：＝________.
解析 (1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
答案 (1)A (2)1
规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【训练1】 (1)(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1
(2)(多填题)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 (1)依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得lg ＝－1.45－
(－26.7)＝25.25.
所以lg ＝25.25×＝10.1，即＝1010.1.
(2)设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝bb2，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
答案 (1)A (2)4 2
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2020·常州调研)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.
∴f(x)＝a－x＝＝bx，
因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同.
A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.
答案 (1)C (2)(1，＋∞)
规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【训练2】 (1)若函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是( )
A.>> B.>>
C.>> D.>>
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2
C.(1，2] D.
解析 (1)由题意可得，，，分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率.结合图象可知当a>b>c时，>>.
(2)由题意，易知a>1.
如图，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax，x∈(1，2)的图象.
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
答案 (1)B (2)C
考点三 解决与对数函数性质有关的问题多维探究
角度1 比较大小
【例3－1】 (1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＝bc C.ab>c
(2)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A.ac.
(2)因为y＝log5x是增函数，
所以a＝log52
所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1.
因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51
规律方法 比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.
角度2 解简单的对数不等式
【例3－2】 (1)(2020·镇江调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为( )
A.(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D.(，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2，即|log2x|>1，解得02.
(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>a，
解得1
知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴8－a0，此时解集为∅.
综上可知，实数a的取值范围是.
答案 (1)B (2)
规律方法 形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
【例3－3】 (2020·连云港调研)已知函数f(x)＝log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.
解 (1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，
∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.
当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.
所以a＝0.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立.
即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).
(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.
由题设得log2(1＋a)－log2≥2，
则log2(1＋a)≥log2(4a＋2).
∴解得－
规律方法 1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行.
2.解题注意几点：(1)由f(0)＝0，得a＝0，需验证f(－x)＝－f(x).(2)f(x)的定义域为R，转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想，把对数不等式转化为等价的代数不等式.
【训练3】 (1)(多选题)(角度1)设不为1的实数a，b，c满足a＞b＞c＞0，下列选项错误的是( )
A.logcb＞logab B.logab＞logac
C.ba＞bc D.ab＞cb
(2)(角度2)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
(3)(角度3)已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(m，n)，且函数g(x)＝mx2－2bx＋n在[1，＋∞)上单调递减，则实数b的取值范围是________.
解析 (1)因为b为定值，当a＞c＞1时，logcb＞logab；当1＞a＞c＞0时，logcb＜logab，故A错误；因为底数a，b与1的大小关系不确定，故B，C错误；因为y＝xb(b＞0)为(0，＋∞)上的增函数，而a＞c＞0，故ab＞cb，故D正确，故选ABC.
(2)由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1
∵函数g(x)＝mx2－2bx＋n＝－x2－2bx＋3，
在[1，＋∞)上单调递减，∴－≤1，即b≥－1，
所以实数b的取值范围为[－1，＋∞).
答案 (1)ABC (2)(－1，0) (3)[－1，＋∞)
赢得高分 基本初等函数的应用“瓶颈题”突破
以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017·全国Ⅲ卷·T15，2018·全国Ⅰ卷·T9，2019·全国Ⅲ卷·T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用.
【典例】 (2020·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln ＋，对任意a∈R，存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，则b－a的最小值为( )
A.2－1 B.e2－
C.2－ln 2 D.2＋ln 2
解析 存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，
则ea＝ln ＋，令t＝ea＝ln ＋>0.
∴a＝ln t，b＝2et－，则b－a＝2et－－ln t.
设φ(t)＝2et－－ln t，则φ′(t)＝2et－－(t>0).
显然φ′(t)在(0，＋∞)上是增函数，当t＝时，φ′＝0.
∴φ′(t)有唯一零点t＝.
故当t＝时，φ(t)取得最小值φ＝2＋ln 2.
答案 D
思维升华 1.解题的关键：(1)由f(a)＝g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值.
2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具.
【训练】 (2020·宿迁模拟)函数f(x)＝
若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是( )
A.(16，32) B.(18，34)
C.(17，35) D.(6，7)
解析 画出函数f(x)的图象如图所示.
不妨设a0.
由f(a)＝f(b)，得1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.
又f(a)＝f(b)＝f(c)，
结合图象，得0<5－c<1，则4
答案 B
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为( )
A.24 B.16 C.12 D.8
解析 因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.
答案 A
2.(2020·南京模拟)已知实数a＝2ln 2，b＝2＋2ln 2，c＝(ln 2)2，则a，b，c的大小关系是( )
A.c
因此b>a>c.
答案 D
3.若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可能是( )
解析 由f(x)在R上是减函数，知0
∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.
答案 D
4.(2020·潍坊调研)若函数f(x)＝|x|＋x3，则f(lg 2)＋f＋f(lg 5)＋f＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.
又lg ＝－lg 2，lg ＝－lg 5.
所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
答案 A
5.若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(1，＋∞) D.
解析 令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，
因为M的单调递增区间为.
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
答案 A
二、填空题
6.(2020·北京模拟)已知23log4x＝27，则x的值为________.
解析 23log4x＝2log2x＝x，又27＝33＝(32)＝9，所以x＝9，所以x＝9.
答案 9
7.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.
解析 由题意得，当x>0，－x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以
f(ln 2)＝e－aln 2＝eln 2－a＝2－a＝8＝23，即2－a＝23，所以a＝－3.
答案 －3
8.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.
解析 当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；
当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.
综上可知，x≥0.
答案 [0，＋∞)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以log2＝－log2，
即log2＝log2，
所以a＝1，f(x)＝log2，
令>0，解得x<－1或x>1，
所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.
(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，
当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.
因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，
所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，且f(0)＝0>－2，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－
B级 能力提升
11.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析 若a>1，则y＝单调递减，A，B，D不符合，且y＝loga过定点，C项不符合，因此0
12.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，∴3y<2x<5z.
答案 D
13.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a
答案 (0，1)
14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
解 (1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，
即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
所以k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).
C级 创新猜想
15.(多选题)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则( )
A.πe＜3e B.3e－2π＜3πe－2
C.logπe＜log3e D.πlog3e＞3logπe
解析 已知π为圆周率，e为自然对数的底数，∴π＞3＞e＞2，∴＞1，πe＞3e，故A错误；∵0＜＜1，1＞e－2＞0，∴＞，∴3e－2π＞3πe－2，故B错误；∵π＞3，∴logπe＜log3e，故C正确；由π＞3，可得log3e＞logπe，则πlog3e＞3logπe，故D正确.故选CD.
答案 CD
16.(情境创新题)(2020·宿迁调研)函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为( )
A. B.∪
C. D.
解析 函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a<0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a>1时，z＝ax＋t2在R上递增，y＝logaz在(0，＋∞)上递增，可得f(x)为R上的增函数；当0
∴ax＋t2＝ax，则ax－a＋t2＝0.
令u＝a，u>0，则u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根.
得Δ＝1－4t2>0，且t2>0，
∴0
第6节 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1).
知 识 梳 理
1.对数的概念
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式： logaN＝(其中a>0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1).
3.对数函数的图象与性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0
当0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
y＝ax称为y＝logax的反函数，反之，y＝logax也称为y＝ax的反函数.一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x).它们的图象关于直线y＝x对称.
[常用结论与微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a
(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.
(4)若0
2.(新教材必修第一册P127T3改编)log29×log34＋2log510＋log50.25＝( )
A.0 B.2 C.4 D.6
解析 原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)
＝4＋log525＝4＋2＝6.
答案 D
3.(教材必修1P83例2改编)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
解析 ∵0
答案 D
4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A.a＋b
∴0<＋＝log0.30.4<1，即0<<1.
又a>0，b<0，故ab
5.(2019·苏州调研)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a>1，c>1
B.a>1，0
D.0
6.(2020·无锡调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝
log2(－x)＋m，且f＝，则m＝________.
解析 由f＝，且f(x)为奇函数.
∴f＝－f＝－，因此log2＋m＝－，则m＝1－.
答案 1－
考点一 对数的运算
【例1】 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B.10 C.20 D.100
(2)计算：＝________.
解析 (1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
答案 (1)A (2)1
规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【训练1】 (1)(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1
(2)(多填题)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 (1)依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得lg ＝－1.45－
(－26.7)＝25.25.
所以lg ＝25.25×＝10.1，即＝1010.1.
(2)设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝bb2，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
答案 (1)A (2)4 2
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2020·常州调研)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.
∴f(x)＝a－x＝＝bx，
因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同.
A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.
答案 (1)C (2)(1，＋∞)
规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【训练2】 (1)若函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是( )
A.>> B.>>
C.>> D.>>
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2
C.(1，2] D.
解析 (1)由题意可得，，，分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率.结合图象可知当a>b>c时，>>.
(2)由题意，易知a>1.
如图，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax，x∈(1，2)的图象.
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
答案 (1)B (2)C
考点三 解决与对数函数性质有关的问题多维探究
角度1 比较大小
【例3－1】 (1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＝b
(2)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
(2)因为y＝log5x是增函数，
所以a＝log52
所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1.
因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51
规律方法 比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.
角度2 解简单的对数不等式
【例3－2】 (1)(2020·镇江调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为( )
A.(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D.(，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2，即|log2x|>1，解得0
(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>a，
解得1
知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴8－a
综上可知，实数a的取值范围是.
答案 (1)B (2)
规律方法 形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
【例3－3】 (2020·连云港调研)已知函数f(x)＝log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.
解 (1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，
∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.
当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.
所以a＝0.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立.
即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞).
(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.
由题设得log2(1＋a)－log2≥2，
则log2(1＋a)≥log2(4a＋2).
∴解得－
规律方法 1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行.
2.解题注意几点：(1)由f(0)＝0，得a＝0，需验证f(－x)＝－f(x).(2)f(x)的定义域为R，转化为不等式恒成立问题.(3)第(3)问运用转化思想，把对数不等式转化为等价的代数不等式.
【训练3】 (1)(多选题)(角度1)设不为1的实数a，b，c满足a＞b＞c＞0，下列选项错误的是( )
A.logcb＞logab B.logab＞logac
C.ba＞bc D.ab＞cb
(2)(角度2)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
(3)(角度3)已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(m，n)，且函数g(x)＝mx2－2bx＋n在[1，＋∞)上单调递减，则实数b的取值范围是________.
解析 (1)因为b为定值，当a＞c＞1时，logcb＞logab；当1＞a＞c＞0时，logcb＜logab，故A错误；因为底数a，b与1的大小关系不确定，故B，C错误；因为y＝xb(b＞0)为(0，＋∞)上的增函数，而a＞c＞0，故ab＞cb，故D正确，故选ABC.
(2)由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1
∵函数g(x)＝mx2－2bx＋n＝－x2－2bx＋3，
在[1，＋∞)上单调递减，∴－≤1，即b≥－1，
所以实数b的取值范围为[－1，＋∞).
答案 (1)ABC (2)(－1，0) (3)[－1，＋∞)
赢得高分 基本初等函数的应用“瓶颈题”突破
以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017·全国Ⅲ卷·T15，2018·全国Ⅰ卷·T9，2019·全国Ⅲ卷·T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用.
【典例】 (2020·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln ＋，对任意a∈R，存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，则b－a的最小值为( )
A.2－1 B.e2－
C.2－ln 2 D.2＋ln 2
解析 存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，
则ea＝ln ＋，令t＝ea＝ln ＋>0.
∴a＝ln t，b＝2et－，则b－a＝2et－－ln t.
设φ(t)＝2et－－ln t，则φ′(t)＝2et－－(t>0).
显然φ′(t)在(0，＋∞)上是增函数，当t＝时，φ′＝0.
∴φ′(t)有唯一零点t＝.
故当t＝时，φ(t)取得最小值φ＝2＋ln 2.
答案 D
思维升华 1.解题的关键：(1)由f(a)＝g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值.
2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具.
【训练】 (2020·宿迁模拟)函数f(x)＝
若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是( )
A.(16，32) B.(18，34)
C.(17，35) D.(6，7)
解析 画出函数f(x)的图象如图所示.
不妨设a
由f(a)＝f(b)，得1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.
又f(a)＝f(b)＝f(c)，
结合图象，得0<5－c<1，则4
答案 B
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为( )
A.24 B.16 C.12 D.8
解析 因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.
答案 A
2.(2020·南京模拟)已知实数a＝2ln 2，b＝2＋2ln 2，c＝(ln 2)2，则a，b，c的大小关系是( )
A.c
因此b>a>c.
答案 D
3.若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可能是( )
解析 由f(x)在R上是减函数，知0
∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.
答案 D
4.(2020·潍坊调研)若函数f(x)＝|x|＋x3，则f(lg 2)＋f＋f(lg 5)＋f＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.
又lg ＝－lg 2，lg ＝－lg 5.
所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
答案 A
5.若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(1，＋∞) D.
解析 令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，
因为M的单调递增区间为.
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
答案 A
二、填空题
6.(2020·北京模拟)已知23log4x＝27，则x的值为________.
解析 23log4x＝2log2x＝x，又27＝33＝(32)＝9，所以x＝9，所以x＝9.
答案 9
7.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.
解析 由题意得，当x>0，－x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以
f(ln 2)＝e－aln 2＝eln 2－a＝2－a＝8＝23，即2－a＝23，所以a＝－3.
答案 －3
8.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.
解析 当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；
当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.
综上可知，x≥0.
答案 [0，＋∞)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以log2＝－log2，
即log2＝log2，
所以a＝1，f(x)＝log2，
令>0，解得x<－1或x>1，
所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.
(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，
当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.
因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，
所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，且f(0)＝0>－2，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－
B级 能力提升
11.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析 若a>1，则y＝单调递减，A，B，D不符合，且y＝loga过定点，C项不符合，因此0
12.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，∴3y<2x<5z.
答案 D
13.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a
答案 (0，1)
14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
解 (1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，
即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
所以k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).
C级 创新猜想
15.(多选题)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则( )
A.πe＜3e B.3e－2π＜3πe－2
C.logπe＜log3e D.πlog3e＞3logπe
解析 已知π为圆周率，e为自然对数的底数，∴π＞3＞e＞2，∴＞1，πe＞3e，故A错误；∵0＜＜1，1＞e－2＞0，∴＞，∴3e－2π＞3πe－2，故B错误；∵π＞3，∴logπe＜log3e，故C正确；由π＞3，可得log3e＞logπe，则πlog3e＞3logπe，故D正确.故选CD.
答案 CD
16.(情境创新题)(2020·宿迁调研)函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为( )
A. B.∪
C. D.
解析 函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a<0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a>1时，z＝ax＋t2在R上递增，y＝logaz在(0，＋∞)上递增，可得f(x)为R上的增函数；当0
∴ax＋t2＝ax，则ax－a＋t2＝0.
令u＝a，u>0，则u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根.
得Δ＝1－4t2>0，且t2>0，
∴0
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