课时作业(五十四) 定点、定值、探索性问题

课时作业(五十四)　定点、定值、探索性问题

一、选择题

1．(2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率；

(Ⅱ)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：四边形ABNM的面积为定值．

解析：(Ⅰ)由题意得，a＝2，b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

又c＝＝，

所以离心率e＝＝.

(Ⅱ)设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4.

又A(2,0)，B(0,1)，所以，

直线PA的方程为y＝(x－2)．

令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.

直线PB的方程为y＝x＋1.

令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.

所以四边形ABNM的面积

S＝|AN|·|BM|

＝

＝

＝

＝2.

从而四边形ABNM的面积为定值．

2．在抛物线y2＝4x上有两点A，B，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，若＋2＋3＝0.试证明：直线AB与x轴的交点为定点．

证明：依题意，设点A、B，则点F(1,0)，直线AB的方程是y－y1＝，

即y－y1＝，

令y＝0得x＝－，即直线AB与x轴的交点的横坐标是－.

由||＋2||＋3＝0，

得(－1,0)＋2＋3＝(0,0)，

得

即，

y＝，－＝，

即直线AB与x轴的交点的横坐标是.

即与x轴交于定点.

3．已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得|MP|＝|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解析：(1)因为椭圆的短轴长2b＝2⇒b＝1，

又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以b＝c⇒a2＝b2＋c2＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)①若l与x轴重合时，显然M与原点重合，m＝0；

②若直线l的斜率k≠0，则可设l：y＝k(x－1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则⇒x2＋2k2(x2－2x＋1)－2＝0，所以化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0；

x1＋x2＝⇒PQ的中点横坐标为，代入l：y＝k(x－1)可得：PQ的中点为N，由于|MP|＝|MQ|得到m＝，所以m＝＝∈.

综合①②得到m∈.

4．(2016·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．

解析：(Ⅰ)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

(Ⅱ)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.

解得x＝2，或x＝，由题意得xB＝，从而yB＝.

由(Ⅰ)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.由BF⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝.因此直线MH的方程为y＝－x＋.

设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔|MA|＝|MO|，即(xM－2)2＋y＝x＋y，化简得xM＝1，即＝1，解得k＝－，或k＝，

所以，直线l的斜率为－或.