课时作业(五十三) 最值、范围、证明问题

课时作业(五十三)　最值、范围、证明问题1．(2015·浙江卷)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解析：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①将线段AB中点M，代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②由①②得m＜－或m＞.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·，且O到直线AB的距离d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤，当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.2．已知定圆M：(x＋)2＋y2＝16，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|＝|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．解析：(1)易知点F(，0)在圆M：(x＋)2＋y2＝16内，∴圆N内切于圆M，又圆M的半径为4，∴|NM|＋|NF|＝4，又|FM|＝2＜4，∴点N的轨迹E为椭圆，且2a＝4，c＝，所以b＝1，所以轨迹E的方程为＋y2＝1.(2)(ⅰ)当AB为椭圆E的长轴(或短轴)时，依题意知，点C可为椭圆的上、下顶点(或左、右顶点)，此时S△ABC＝×|OC|×|AB|＝2.(ⅱ)当直线AB的斜率存在且不为0时，设其为k，则直线AB的方程为y＝kx，由解得x＝，y＝，所以|OA|2＝x＋y＝.由|AC|＝|CB|知，△ABC为等腰三角形，又O为AB的中点，所以OC⊥AB，所以直线OC的方程为y＝－x，由解得x＝，y＝，∴|OC|2＝，∴S△ABC＝2S△OAC＝|OA|×|OC|＝·＝，由于≤＝，所以S△ABC≥，当且仅当1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1时等号成立，此时△ABC面积取最小值，是.因为2＞，所以△ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.3．(2016·江苏，22,10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．解析：(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.①由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.方程(*)的两根为y1,2＝－p±，从而y0＝＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.因此，p的取值范围是.4．(2016·山东，21,14分)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(ⅰ)求证：点M在定直线上；(ⅱ)直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．解析：(1)由题意知＝，可得a2＝4b2.因为抛物线E的焦点为F的坐标为，所以b＝，所以a＝1.所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.(2)(ⅰ)设P(m＞0)．由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m.因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，即y＝mx－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.由Δ＞0，得0＜m＜(或0＜m2＜2＋)，(*)且得x1＋x2＝，因此x0＝.将其代入y＝mx－，得y0＝.因为＝－，所以直线OD的方程为y＝－x.联立得点M的纵坐标yM＝－，所以点M在定直线y＝－上．(ⅱ)由(ⅰ)知直线l的方程为y＝mx－.令x＝0，得y＝－，所以G.又P，F，D，所以S1＝·|GF|·m＝，S2＝·|PM|·|m－x0|＝××＝.所以＝.设t＝2m2＋1.则＝＝＝－＋＋2.当＝，即t＝2时，取到最大值，此时m＝，满足(*)式，所以P点坐标为.因此的最大值为，此时点P的坐标为.