《圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题》专项练习

备考训练16　圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题——大题备考

1．椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，左、右顶点分别为A1，A2，P为椭圆E上的动点(不与A1，A2重合)，且直线PA1与PA2的斜率的乘积为－.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过F2作两条互相垂直的直线l1与l2(均不与x轴重合)分别与椭圆E交于A，B，C，D四点，线段AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

2．[2020·山东师大附中模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，椭圆C上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在第二象限)，M，N是椭圆上位于直线l两侧的动点，若∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．

3．[2020·山东临沂质量检测]如图，已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16.

(1)求抛物线C的方程；

(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．[2020·山东潍坊学情调研]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，延长BF2交椭圆C于点M，△ABF2的周长为8.

(1)求C的离心率及方程；

(2)试问：是否存在定点P(x0,0)，使得·为定值？若存在，求x0；若不存在，请说明理由．

5.[2020·山东高考第一次模拟]设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为.F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.

(1)求E和⊙F的方程；

(2)若直线l：y＝k(x－)(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由．

6．[2020·山东济宁质量检测]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(0，)，长轴与短轴的比为21.直线l：y＝kx＋m与椭圆E交于P、Q两点，其中k为直线l的斜率．

(1)求椭圆E的方程；

(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，问：是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O，不论直线l的斜率k取何值，定圆O恒与直线l相切？如果存在，求出圆O的方程及实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．