课时作业(五十一) 抛物线 练习

课时作业(五十一)　抛物线

一、选择题

1．(2017·河北唐山一模)已知抛物线的焦点F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝2ax　　　B．y2＝4ax

C．y2＝－2ax    D．y2＝－4ax

解析：以F(a,0)为焦点的抛物线的标准方程为y2＝4ax.

答案：B

2．坐标平面内到定点F(－1,0)的距离和到定直线l：x＝1的距离相等的点的轨迹方程是(　　)

A．y2＝2x  B．y2＝－2x

C．y2＝4x  D．y2＝－4x

解析：由抛物线的定义知，点的轨迹是开口向左的抛物线，且p＝2，∴其方程为y2＝－2px＝－4x.

答案：D

3．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xp，yp)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，∴|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，∴xp＝，代入y2＝2x，得yp＝±，∴P.

答案：A

4．(2016·课标全国Ⅱ，5,5分)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)

A.  B．1

C.  D．2

解析：易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1,2)代入曲线y＝(k＞0)得k＝2.

答案：D

5．(2016·四川，理8)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)

A.  B.

C.  D．1

解析：设P(2pt2,2pt)，M(x，y)(不妨设t＞0)，F，则＝，＝.

∵＝，

∴∴

∴kOM＝＝≤＝，

当且仅当t＝时等号成立．

∴(kOM)max＝，故选C.

答案：C

6．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)

A．3  B．4

C．5  D.＋1

解析：由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，∴N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.故选A.

答案：A

二、填空题

7．(2017·江西九校联考，15)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.

解析：易得双曲线y2－x2＝1过点，从而－＝1，所以p＝2.

答案：2

8．(2017·兰州一模)过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于__________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1＋x2＝2×2＝4，∵直线AB过焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋2＝6.

答案：6

9．(2017·福建厦门双十、南安一中、厦门海沧实验中学联考，16)设抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B两点在抛物线上，且A，B，F三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF|＝，则M点的横坐标为__________．

解析：由题意，得p＝2，F(1,0)，准线为x＝－1，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程后消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝1.

设P(x0，y0)，则y0＝(y1＋y2)＝[k(x1－1)＋k(x2－1)]＝，

所以x0＝，所以P.

因为|PF|＝x0＋1＝＋1＝，

解得k2＝2，

所以M点的横坐标为＝＝2.

答案：2

三、解答题

10．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．

解析：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，

∴p＝2c.

设抛物线方程为y2＝4c·x，

∵抛物线过点，

∴6＝4c·.∴c＝1，

故抛物线方程为y2＝4x.

又双曲线－＝1过点，

∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，

∴－＝1.

∴a2＝或a2＝9(舍去)．

∴b2＝，

故双曲线方程为4x2－＝1.

11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程；

(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

解析：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，

于是4＋＝5，

∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.

(2)∵点A的坐标是(4,4)，

由题意得B(0,4)，M(0,2)．

又∵F(1,0)，∴kFA＝.

∵MN⊥FA，∴kMN＝－.

又FA的方程为y＝(x－1)，①

MN的方程为y－2＝－x，②

联立①②，解得x＝，y＝，

∴N的坐标为.

12．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

解析：(1)由题意得直线AB的方程是

y＝2，

与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，

所以x1＋x2＝，

由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

所以p＝4，

从而抛物线方程得y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，

从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，

从而A(1，－2)，B(4,4)；

设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)

＝(4λ＋1,4λ－2)．

又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，

解得λ＝0，或λ＝2.