2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二章第四节函数的图象

第四节函数的图象1．描点法作函数图象通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象． “左加右减，上加下减”．左加右减只针对x本身，与x的系　 数无关；上加下减指的是在f(x) 整体上加减.2．函数图象的变换(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象．(3)翻折变换y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．图象变换的注意点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．[熟记常用结论]1．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．2．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点中心对称．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√二、选填题1．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)答案：C2．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(　　)A．1　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：选A　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)A．ex＋1  B．ex－1C．e－x＋1  D．e－x－1解析：选D　与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log f(x)的定义域是________．解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．答案：(2,8]5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.答案：(0，＋∞)[考法全析] 考法(一)　知式选图[例1]　(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)[解析]　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项．又e>2，∴＜，∴e－>1，排除C选项．故选B.[答案]　B[例2]　(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)[解析]　令f(x)＝－x4＋x2＋2，则f′(x)＝－4x3＋2x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，则f′(x)>0的解集为∪，f(x)在，上单调递增；f′(x)＜0的解集为∪，f(x)在，上单调递减，结合图象知选D.[答案]　D考法(二)　借助动点探究函数图象[例3]　广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象为(　　)[解析]　根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x∈[0，π)时，函数值不变，y＝f(x)＝1；当x∈[π，2π)时，设与的夹角为θ，∵||＝1，| |＝2，θ＝x－π，∴y＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，∴y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增；当x∈[2π，4π)时，＝－，设与的夹角为α，||＝2，||＝1，α＝π－＝2π－x，∴y＝|O1P|2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos ，函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选A.[答案]　A考法(三)　图象变换问题[例4]　已知函数y＝f(1－x)的图象如图，则y＝|f(x＋2)|的图象是(　　)[解析]　(1)把函数y＝f(1－x)的图象向左平移1个单位得y＝f(－x)的图象；(2)作出f(－x)关于y轴对称的函数图象得y＝f(x)的图象；(3)将f(x)向左平移2个单位得y＝f(x＋2)的图象；(4)将y＝f(x＋2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x＋2)|的图象．[答案]　A[规律探求]看个性考法(一)是知式选图，解决此类问题常有以下策略：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象．考法(二)是求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择．考法(三)图象变换问题，只需遵守图象变换规则即可找共性解决函数图象的识别问题， 注意“三关”： (1)取“特殊点关”，即根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除；(2)用“性质关”，即根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项；(3)用“极限思想关”，即应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高[过关训练]1．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是(　　)解析：选B　易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0.故选B.2.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)解析：选B　当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2＜1＋，∴f＜f＝f，从而排除D，故选B.3．已知函数f(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为(　　)解析：选A　先作出函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x＜0时的图象，故选A.[考法全析]考法(一)　研究函数的性质[例1]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案]　C考法(二)　研究不等式的求解问题[例2]　(1)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　 B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  D．(－1,0)∪(0,1)(2)若不等式(x－1)2＜logax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．(1,2]   B.C．(1，)  D．(，2)[解析]　(1)因为f(x)为奇函数，所以不等式＜0可化为＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(2)要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．故选A.[答案]　(1)D　(2)A考法(三)　研究方程根的问题[例3]　(2019·沈阳质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为(　　)A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4[解析]　因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数．作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.[答案]　C[规律探求]看个性考法(一)是利用函数图象研究函数性质．常从以下几个角度分析研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二)利用函数图象研究不等式．通过函数图象把不等式问题转化为两函数图象的上下关系或函数图象与坐标轴的位置关系来解决问题．考法(三)是利用图象研究方程根的问题．其依据是：方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标找共性求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是： [过关训练]1．(2019·昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)A．有最小值－1，最大值1   B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值  D．有最大值－1，无最小值解析：选C　如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|＜g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．2．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，下列不等式成立的是(　　)A．f(x1)＋f(x2)＜0   B．f(x1)＋f(x2)＞0C．f(x1)－f(x2)＞0  D．f(x1)－f(x2)＜0解析：选D　函数f(x)的图象如图所示．f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x1|＜|x2|，则f(x2)＞f(x1)，即f(x1)－f(x2)＜0.3．已知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．解析：y＝作出其图象，如图所示．此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－，要使直线y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，所以1＜a＜.答案：                                                               一、题点全面练1．函数f(x)＝xe－|x|的图象可能是(　　)解析：选C　因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A、B；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝xe－x，因为e－x＞0，所以f(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.2.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)A．－　　　　　　　 B．－C．－1  D．－2解析：选C　由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)A．y＝ln(1－x)　　　　　 B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)  D．y＝ln(2＋x)解析：选B　函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.4．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是(　　)解析：选D　在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)在[－1,1]上的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确．故选D.5．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)解析：选C　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．6．(2019·汉中模拟)函数f(x)＝·sin x的图象大致为(　　)解析：选A　∵f(x)＝·sin x，∴f(－x)＝·sin(－x)＝－·sin x＝·sin x＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，故排除C、D；当x＝2时，f(2)＝·sin 2＜0，故排除B，选A.7.若函数f(x)＝(ax2＋bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为(　　)A．a＝1，b＝2B．a＝1，b＝－2C．a＝－1，b＝2D．a＝－1，b＝－2解析：选B　令f(x)＝0，则(ax2＋bx)ex＝0，解得x＝0或x＝－，由图象可知，－＞1，又当x＞－时，f(x)＞0，故a＞0，结合选项知a＝1，b＝－2满足题意，故选B.8．定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x,2x－3,6－x}，则M的最小值是(　　)A．2  B．3C．4  D．6解析：选C　画出函数M＝max{2x,2x－3,6－x}的图象如图中实线部分所示，由图可得，函数M在点A(2,4)处取得最小值，最小值为4，故选C.9.已知在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，该函数的图象与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为(　　)解析：选B　由题意知，当－1＜t＜0时，S越来越大，但增长的速度越来越慢．当t＞0时，S的增长速度会越来越快，故在S轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选B.10.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．解析：令y＝log2(x＋1)，作出函数y＝log2(x＋1)图象如图．由得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．答案：{x|－1＜x≤1}11．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)12．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．解：(1)f(x)＝其图象如图所示．(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是.(3)由图象知，当＞1，即a＞2时，f(x)min＝f(1)＝1－a；当0＜≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝f＝－.综上，f(x)min＝二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·大同质检)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称(　　)A．(1,0)   B．(－1,0)C.   D.解析：选C　因为f(2x＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到的，故f(2x)关于成中心对称．2．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　)A．(1,3)   B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)  D．(－1,0)∪(0,1)解析：选C　作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．3．(2019·合肥质检)对于函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是________．解析：依题意，知f(x)＝－f(－x)有非零解，由f(x)＝－f(－x)得，ex－a＝－(e－x－a)，即a＝＞1(x≠0)，所以当f(x)＝ex－a存在奇对称点时，实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)(二)素养专练——学会更学通4．[数学建模]如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是(　　)解析：选C　由y＝f(x)的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.5．[直观想象]已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，0]  B．[0,1)C．(－∞，1)  D．[0，＋∞)解析：选C　当x＞0时，f(x)＝f(x－1)，所以f(x)是以1为周期的函数．又当0＜x≤1时，x－1≤0，所以f(x)＝f(x－1)＝21－x－1＝2x－1.方程f(x)＝x＋a的根的个数可看成是两个函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a的取值范围是(－∞，1)．(三)难点专练——适情自主选6．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，∴g′(x)＝1－.∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故实数a的取值范围是[3，＋∞)．7．若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．解：不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x≥2时，f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，解得a≤，所以a的取值范围是.