2020高考数学（理）新创新大一轮复习通用版讲义：第二章第四节指数与指数函数

第四节　指数与指数函数
[考纲要求]
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．
4．体会指数函数是一类重要的函数模型．　　　
突破点一　指数幂的运算


1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒
2．有理数指数幂
幂的有关概念
正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义
有理数指数幂的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)＝－a.(　　)
(2)(－a)＝(－a)＝.(　　)
(3)()n＝a.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空题
1．计算：π0＋2－2×＝________.
答案：
2．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________．
解析：＝＝＝＝a2·a＝a＝a.
答案：a
3．若＝，则实数a的取值范围为________．
解析：＝|2a－1|，＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a.
故2a－1≤0，所以a≤.
答案：

指数幂的运算规律
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[典例]　(1)(a>0)的值是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．a
C．a D．a
(2)0＋2－2·－(0.01)0.5＝________.
[解析]　(1)＝＝a＝a.故选D.
(2)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
[答案]　(1)D　(2)
[方法技巧]
化简指数幂常用的技巧
(1)－p＝p(ab≠0)；
(2)a＝m，a＝(a)n(式子有意义)；
(3)1的代换，如1＝a－1a,1＝aa等；

(4) 乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b.　　
[针对训练]
1．化简(a>0，b>0)的结果是(　　)
A．a B．ab
C．a2b D.
解析：选D　原式＝＝a·b＝.
2．(2019·江西百校联盟联考)已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝________.
解析：由题设可得2＝14,2＝7,2＝4，
则2＝＝2，
∴2＝2×4＝23，
∴－＋＝3.
答案：3
3．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)＝________.
解析：因为x>0，所以原式＝(2x)2－(3)2－4x·x＋4x·x＝4x－3－4x＋4x＝4x－33－4x＋4x0＝－27＋4＝－23.
答案：－23
突破点二　指数函数的图象及应用


1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0 a>1
图象


图象特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
2.画指数函数图象的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
3．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y＝2x－1是指数函数．(　　)
(2)y＝ax＋1的图象恒过定点(－1,1)．(　　)
(3)要得到y＝3x＋2的图象只需将y＝3x的图象向左平移2个单位即可．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空题
1．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
解析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
答案：(3,4)
2．函数y＝2x＋1的图象是________(填序号)．


解析：由y＝2x的图象向左平移1个单位可得y＝2x＋1的图象．答案：①
3．已知函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是________．
解析：由两函数的图象关于y轴对称，可知与a互为倒数，即＝1，解得a＝4.
答案：4


考法一　与指数函数有关的图象辨析　
[例1]　(2019·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是(　　)

[解析]　因为－|x－1|≤0，所以0 [答案]　B
考法二　指数函数图象的应用　
一些指数方程、不等式问题，往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解．
[例2]　(2019·西安八校联考)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－1)>1的x的取值范围是________．
[解析]　画出函数f(x)的大致图象如图所示，易知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
又x>x－1，且x－(x－1)＝1，f(0)＝1，
所以要使f(x)＋f(x－1)>1成立，
结合函数f(x)的图象知只需x－1>－1，
解得x>0.故所求x的取值范围是(0，＋∞)．
[答案]　(0，＋∞)

有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

1.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A　由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C.
2.函数y＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．无法确定
解析：选C　因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得故ab∈(0,1)，故选C.
3.若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

答案：[－1,1]
突破点三　指数函数的性质及应用


指数函数的性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0 a>1
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值变化规律
当x＝0时，y＝1

当x<0时，y>1；
当x>0时，0 当x<0时，0 当x>0时，y>1
[提醒]　应用指数函数性质时应注意的两点
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意分a>1与0 (2)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当x>0时，y>1.(　　)
(2)若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值为2，则a为.(　　)
(3)若am>an(a>0，且a≠1)，则m>n.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、填空题
1．函数y＝1－x的单调递增区间为________．
答案：(－∞，＋∞)
2．若－1 解析：因为－11,0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b 答案：b 3．函数y＝3x2－2x的值域为________．
解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝，所以函数y＝3x2－2x的值域是.
答案：


考法一　比较指数式大小或解不等式　
[例1]　(1)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(b) C．f(c) (2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析]　(1)易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝>＝b>0，c＝log2<0，则a>b>c，所以f(c) (2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，
因为0<<1，所以a>－3，此时－3 当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，
所以0≤a<1.
故a的取值范围是(－3,1)．
[答案]　(1)B　(2)C
[方法技巧]
有关指数不等关系的常见题型及求解思路
(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．　　
考法二　与指数函数有关的函数最值问题　
[例2]　(2019·昆明第一中学月考)已知集合A＝{x|(2－x)(2＋x)>0}，则函数f(x)＝4x－ 2x＋1－3(x∈A)的最小值为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．2
C．－2 D．－4
[解析]　由题知集合A＝{x|－2 [答案]　D
[方法技巧]
形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．　　
考法三　与指数函数有关的函数单调性问题　
[例3]　(1)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
(2)若函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0，且a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1， ] D.
[解析]　(1)由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.
(2)令t＝ax(t>0)，则原函数转化为y＝t2－(3a2＋1)t，其图象的对称轴为直线t＝.
若a>1，则t＝ax≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，
则≤1，解得－≤a≤，与a>1矛盾；
若0 则≥1，解得a≥或a≤－，所以实数a的取值范围是.故选B.
[答案]　(1)B　(2)B
[方法技巧]
与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．　

1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：选D　a＝0.80.7>0.80.9＝b，a＝0.80.7<0.80＝1，∴b1.20＝1，∴c>a>b.
2.函数y＝的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析：选C　函数y＝中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因为2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y＝∈[0,4)．故选C.
3.函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[0,1]，因为y＝t是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y＝－x2＋x在[0,1]上的减区间，故选D.
4.已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是______________．
解析：∵|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．
答案：f(－4)>f(1)
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·郑州一中开学考试)函数y＝ln(2x－1)的定义域是(　　)
A．[0，＋∞)　　　　　　　 B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C　由2x－1>0，得x>0，所以函数的定义域为(0，＋∞)．
2.(2019·菏泽联考)函数y＝2x－x2的值域为(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
解析：选A　设t＝2x－x2，则t≤1，所以y＝t，t≤1，所以y∈，故选A.
3．化简4a·b÷的结果为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
解析：选C　原式＝－6ab＝－6ab－1＝－.
4．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
解析：选A　由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．
5．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选A　由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·衡水中学模拟)已知ab＝－5，则a＋b 的值是(　　)
A．2　　　　　　 　　 B．0
C．－2 D．±2
解析：选B　由题意知ab<0，a ＋b ＝a ＋b ＝a ＋b ＝a＋b＝0.故选B.
2．已知a＝21.2，b＝－0.2，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b C．c 解析：选C　∵b＝－0.2＝20.2<21.2＝a，∴a>b>1.又∵c＝2log52＝log54<1，∴c 3．函数y＝的值域为(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选D　由题≠0，得y＝≠1，又y>0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.
4．(2019·山西省45校第一次联考)函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是(　　)

解析：选C　两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A、D；二次函数的对称轴为直线x＝，当01时，指数函数递增，>0，B不符合题意，选C.
5．(2019·河南六市一模)设x>0，且1 A．0 C．1 解析：选C　∵10，∴b>1，∵bx1，∵x>0，∴>1⇒a>b，∴1 6．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)
A．偶函数，在[0，＋∞)单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
解析：选C　易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.
7．(2019·衡阳三中月考)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2,1) B．(－4,3)
C．(－3,4) D．(－1,2)
解析：选D　∵(m2－m)·4x－2x<0在(－∞，－1]上恒成立．∴(m2－m)<在x∈(－∞，－1]上恒成立．∵y＝在(－∞，－1]上单调递减，∴当x∈(－∞，－1]时，y＝≥2， ∴m2－m<2，∴－1 8．(2019·中山一中摸底)化简：(2·)(－6·)÷(－3·)＝________.
解析：(2·)(－6·)÷(－3·)＝÷＝4a·b＝4a1·b0＝4a.
答案：4a
9．(2019·烟台海阳一中期中)已知函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]，则实数m的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝2|x－2|－1的对称轴为直线x＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2， ＋∞)上单调递增．由于函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]且函数关于直线x＝2对称，f(0)＝f(4)＝3，f(2)＝0，所以结合图象可知m∈[2,4]．
答案：[2,4]
10．(2019·湖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，且a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(填序号)．
①函数f(x)的图象关于原点对称；
②函数f(x)在R上不具有单调性；
③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；
④当0 ⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.
解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①是真命题；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当01时，f(|x|)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最小值为0，⑤是假命题．综上，真命题是①③④.
答案：①③④
11．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈.
故y＝2t2－t－1＝22－，t∈，
故值域为.
(2)设2x＝m>0，关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．
当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，过点(0，－1)，不成立．
当a>0时，开口向上，对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.
故a的取值范围为(0，＋∞)．
12．(2019·上海松江期末)已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，且a≠1，b∈R)．
(1)若f(x)为偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)．
即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，
解得b＝0.
(2)记h(x)＝|x＋b|＝
①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
∴－b≤2，即b≥－2.
②当0 ∴f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.
[C级　难度题——适情自主选做]
1．(2019·绵阳第一次诊断)已知0b；②a>b； ③loga>logb.则其中正确的结论个数是(　　)
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：选B　对于①，函数y＝x为减函数，所以a>b.又函数y＝xb为增函数，所以b>b，因此a>b，故①正确；对于②，函数y＝x为增函数，所以alogb.又logb>logb，因此loga>logb，故③正确．综上可得①③正确．故选B.
2．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)

解析：选A　因为x∈(0,4)，所以x＋1>1，
所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，
当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，
所以a＝2，b＝1，
此时g(x)＝2|x＋1|＝
此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．
结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.
3．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
解析：①当0
②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．
所以实数a的取值范围是.
答案：