2020高考数学（理）新创新大一轮复习通用版讲义：第二章第六节　函数的图象及其应用

第六节　函数的图象及其应用

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

突破点一　函数的图象


1．利用描点法画函数图象的流程

2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换

y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
(4)翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、填空题
1．函数f(x)的图象向左平移1个单位长度再向上平移1个单位，得到y＝log2x的图象，则f(x)＝________.
答案：f(x)＝log2(x－1)－1
2.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________.

解析：由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，
∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
答案：－1
3．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
答案：(0，＋∞)


考法一　作函数的图象　
[例1]　分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.
[解]　(1)y＝图象如图①所示．
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②所示．
(3)y＝图象如图③所示．

[方法技巧]　　　　函数图象的画法

考法二　函数图象的识别　
[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)








(2)(2019·郴州一中月考)如图，在△OAB中，A(4,0)，B(2,4)，过点P(a，0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q，记四边形OPQB的面积为y＝S(a)，则函数y＝S(a)的大致图象为(　　)


[解析]　(1)法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
则f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
由f′(x)>0知在，上函数f(x)单调递增；由f′(x)<0知在，，＋∞上函数f(x)单调递减，结合图象知选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．故选D.
(2)由题意可知直线l的斜率为2，设其方程为y＝2(x－a)，0≤a≤4.由两点式可得AB：y＝－2x＋8，联立方程得Q.结合四边形OPQB为梯形，因此其面积y＝S(a)＝×4×4－×(4－a)×(4－a)＝－(4－a)2＋8.故选D.
[答案]　(1)D　(2)D
[方法技巧]
有关函数图象识别问题的解题思路
(1)由解析式确定函数图象
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
(2)由实际情景探究函数图象
关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．　　

1.(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是(　　)

解析：选D　由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x.∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B.令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，∴当k＝1时，x＝，故排除C，选D.
2.已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)从原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(选项中阴影部分)．若函数y＝f(t)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是(　　)

解析：选C　观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C项不符合．这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．
3.作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝.
解：(1)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x≥0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图所示．
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．
突破点二　函数图象的应用问题
利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等．解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解．

考法一　利用函数图象研究函数的性质　
[例1]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案]　C
[方法技巧]
破解此类问题的关键是化简函数的解析式，并能画出函数的草图，通过观察图象，即可得出正确的选项．　
考法二　利用函数图象求解不等式　
[例2]　若不等式(x－1)20，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,2]　　　　　　　 B.
C．(1，) D．(，2)
[解析]　要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2 当01时，如图，要使x∈(1,2)
时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2
≤loga2，即loga2≥1，解得1 [答案]　A
[方法技巧]
利用函数图象求解不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．　　
考法三　利用图象解决方程根的问题　
[例3]　(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)＝则关于x的方程x－f(x)＝0在[－2，2]上的根的个数为(　　)
A．3　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
[解析]　分别作出y＝f(x)，y＝x的图象，如图，可知函数f(x)的图象与直线y＝x在 [－2,2]上有4个交点，所以方程x－f(x)＝0在[－2,2]上的根的个数为4，选B.

[答案]　B
[方法技巧]
利用函数的图象解决方程根问题的思路
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．　　

1.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)
A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
解析：选C　如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|＜g(x)，
故h(x)＝－g(x)．
综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．
2.设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋ f(－4)＝1，则a为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析：选C　设(x，y)为y＝f(x)图象上任意一点，则(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，所以有－x＝2－y＋a，从而有－y＋a＝log2(－x)，所以y＝a－log2(－x)，即f(x)＝a－log2(－x)，所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得a＝2.故选C.
3.已知函数f(x)＝若f(3－a2) 解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，∵f(3－a2)2a，解得－3
答案：(－3,1)
4.已知f(x)＝(x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝(x＋1)|x－1|＝在同一平面直角坐标系内作出y＝f(x)，y＝x＋m的图象，如图，当直线与抛物线相切时，联立方程组得x2＋x＋m－1＝0，Δ＝1－4(m－1)＝5－4m＝0，解得m＝，方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点，由图可知－1 答案：
[课时跟踪检测]
[A级　保分题——准做快做达标]
1．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)


解析：选C　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
2．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

解析：选B　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项．又e>2，∴<， ∴e－>1，排除C选项．故选B.
3．(2019·中山一中统测)如图所示的函数图象对应的函数可能是(　　)

A．y＝2x－x2－1
B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex
D．y＝
解析：选C　A选项中，当x＝－1时，y＝2x－x2－1＝－1－1＝－<0，不符题意； B选项中，当x＝－时，y＝＝＝－<0，不符题意；D选项中，当x<0时，y＝无意义，不符题意．故选C.
4．(2019·辽宁重点高中协作校阶段考试)已知f(x)＝则下列选项错误的是(　　)

A．①是f(x－1)的图象　　 B．②是f(－x)的图象
C．③是f(|x|)的图象 D．④是|f(x)|的图象
解析：选D　作出函数f(x)的图象，如图所示．f(x－1)的图象是由函数f(x)的图象向右平移一个单位长度得到的，A正确；f(－x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称，B正确；对于f(|x|)的图象，当x≥0时，与f(x)的图象相同，当x<0时，与f(x)在[0,1]上的图象关于y轴对称，C正确；因为f(x)≥0，所以|f(x)|的图象与函数f(x)的图象相同，所以D不正确．故选D.
5．(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0 A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C　作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于B点，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)，故选C.
6．(2019·汉中模拟)函数f(x)＝·sin x的图象大致为(　　)

解析：选A　∵f(x)＝·sin x，∴f(－x)＝·sin(－x)＝ －·sin x＝·sin x＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，故排除C、D；当x＝2时，f(2)＝·sin 2＜0，故排除B，选A.
7．(2019·西安第一中学期中)设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3，满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　函数f(x)＝的图象如图，

不妨设x1 8．(2019·昆明检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是____________________．
解析：如图所示，虚线部分为f(x)的草图，实线部分为g(x)的草图，

则xg(x)≤0⇔或
由图可得xg(x)≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[－2，＋∞)
9．(2019·合肥质检)对函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，知f(x)＝－f(－x)有非零解，由f(x)＝－f(－x)得，a＝>1(x≠0)，所以当f(x)＝ex－a存在奇对称点时，实数a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
10．(2019·武昌区调研)已知函数f(x)＝若f(x)≥ax－1恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象，如图，又直线y＝ax－1恒过点A(0，－1)，所以由图知实数a的取值范围是[k,0](k<0)，其中k为直线y＝ax－1与y＝x2－4x，x≤0的图象相切时a的值，由ax－1＝x2－4x，得x2－(4＋a)x＋1＝0，则Δ＝[－(4＋a)]2－4＝0，得a＝－6，a＝－2，结合图象可知a＝－2舍去，故a＝ －6.所以实数a的取值范围是[－6,0]．
答案：[－6,0]
11．画出下列函数的图象．
(1)y＝eln x；
(2)y＝|x－2|·(x＋1)．
解：(1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y＝eln x＝x(x>0)，
所以其图象如图所示．
(2)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)·(x＋1)＝x2－x－2＝2－；
当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋.
所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．

12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，
画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解，
故m的取值范围是{0}∪[2，＋∞)．
(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围是(－∞，0]．
[B级　难度题——适情自主选做]
1．(2019·马鞍山期末)函数f(x)＝x2－2ln(x＋1)的图象大致是(　　)

解析：选A　∵函数f(x)＝x2－2ln(x＋1)的定义域满足x＋1>0，∴x>－1.当x＝0时，可得f(0)＝×02－2ln(0＋1)＝0，则排除选项B、D；又f＝×2－2×ln－＋1＝－ln＝＋ln 4>0，则排除选项C.故选A.
2．(2019·南宁三校联考)已知函数f(x)＝g(x)＝x2－2x，设a为实数，若存在实数x，使得f(x)－2g(a)＝0，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．[－1,3] D．(－∞，3]
解析：选C　∵g(x)＝x2－2x，∴2g(a)＝2a2－4a，a∈R.由函数f(x)＝可得f(－7)＝6，f(e－2)＝－2，画出函数f(x)＝的大致图象，

如图所示，由函数f(x)的图象可知，函数f(x)的值域为[－2,6]．∵存在实数m，使得f(m)－2g(a)＝0，∴－2≤2a2－4a≤6，得－1≤a≤3，故实数a的取值范围为[－1，3]，故选C.
3．(2019·张掖诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足①f(x)＋f(2－x)＝0，②f(x－2)＝ f(－x)，③在[－1,1]上的表达式为f(x)＝则函数f(x)的图象与函数g(x)＝的图象在区间[－3，3]上的交点有________个．

解析：由f(x)＋f(2－x)＝0，可得函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，由f(x－2)＝f(－x)，可得函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又f(x)在[－1,1]上的表达式为f(x)＝所以可在同一坐标系中作出函数f(x)在[－3,3]上的图象以及函数g(x)＝在[－3,3]上的图象，数形结合可得函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间[－3,3]上的交点个数为6.

答案：6
4．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．
解：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－11时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图①所示，由图知不满足条件；当0