2020年高考数学理科一轮复习讲义：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第5讲

第5讲　古典概型

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.

4．古典概型的概率公式

P(A)＝.

1．概念辨析

(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. (　　)

(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)

(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)

(4)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．小题热身

(1)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案　A

解析　由题意得，取到白球的概率为P＝＝.

(2)从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案　B

解析　从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个基本事件，其中这两个数字之积小于5的有(1,2)，(1,3)，(1,4)共3个基本事件，则这两个数字之积小于5的概率为P＝＝.故选B.

(3)从5名医生(3男2女)中随机等可能地选派两名医生，则恰选1名男医生和1名女医生的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案　D

解析　从5名医生中选派两名医生的基本事件总数n＝C＝10，恰选1名男医生和1名女医生的基本事件m＝CC＝6，所以所求事件概率P＝＝.故选D.

(4)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案　C

解析　所有可能的排列方法有A＝6种，2本数学书相邻的排列方法有A·A＝4种(先排列数学书，再把两本数学书作为整体和语文书进行排列)．所以根据概率的计算公式，所求概率为＝.故选C.

题型 　古典概型的简单问题

1．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)

A．0.6       B．0.5       C．0.4       D．0.3

答案　D

解析　设2名男同学为A1，A2,3名女同学为B1，B2，B3，从以上5名同学中任选2人总共有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有B1B2，B1B3，B2B3共3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P＝＝0.3.故选D.

2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案　D

解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.故选D.

3．(2018·沈阳模拟)将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是(　　)

A. B. 

C. D.

答案　B

解析　A，B，C，D 4名同学排成一排有A＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为＝.

条件探究　把举例说明2的条件“放回后”改为“不放回”，其他条件不变，结果又如何？

解　画出树状图如图：

所有的基本事件共有20个，满足题意的基本事件有10个，故所求概率P＝＝.

结论探究　举例说明2条件不变，求抽到第一张卡片上的数与第二张卡片上的数的和为偶数的概率．

解　所有基本事件共有25个，满足条件的基本事件有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共13个．故所求概率P＝.

1．求古典概型概率的步骤

(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；

(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．

2．基本事件个数的确定方法

1．用两个字母G，A与十个数字0,1,2，…，9组成5位的车牌号码，两个字母不能重复，且每个号码中都包含这两个字母．其中两个字母排在前两位的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案　B

解析　总的基本事件的个数为A×103，其中两个字母排在前两位的情况有A×103，由古典概型的概率公式，得P＝＝＝.

2．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　)

A．都不是一等品   B．恰有1件一等品

C．至少有1件一等品   D．至多有1件一等品

答案　D

解析　从5件产品中任取2件有10种取法，设3件一等品为1,2,3；2件二等品为4,5.这10种取法是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，其中2件均为一等品的取法有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种．所以至多有1件一等品的概率P＝1－＝.

题型 　古典概型的交汇问题

角度1　古典概型与平面向量相结合

1．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．

(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；

(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．

解　由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共有36种．

(1)若a⊥b，则有m－3n＝0，即m＝3n，符合条件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“a⊥b”发生的概率为＝.

(2)若|a|≤|b|，则有m2＋n2≤10，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，故所求概率为＝.

角度2　古典概型与函数、方程相结合

2．(2019·河北武邑中学模拟)已知a∈{－2,0,1,3,4}，b∈{1，2}，则函数f(x)＝(a2－2)x＋b为增函数的概率是(　　)

A. B. 

C. D.

答案　B

解析　从集合{－2,0,1,3,4}中任选一个数有5种选法，使函数f(x)＝(a2－2)x＋b为增函数的是a2－2>0，

解得a>或a<－，

所以满足此条件的a有－2,3,4，共有3个，

由古典概型公式得函数f(x)＝(a2－2)x＋b为增函数的概率是.

角度3　古典概型与几何问题结合

3．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．

答案　

解析　依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，因此所求的概率等于＝.

角度4　古典概型与统计相结合

4．(2019·贵州省黔东南州第一次联考)经研究，城市公交车的数量太多容易造成资源浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司从某站点的40名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：min)作为样本分成5组如下表：

(1)估计这40名乘客中候车时间不少于20分钟的人数；

(2)若从上表候车时间不少于10分钟的7人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人候车时间都不少于20分钟的概率．

解　(1)候车时间不少于20分钟的概率为＝，所以估计候车时间不少于20分钟的人数为40×＝8.

(2)将候车时间在范围[10,20)的4名乘客编号为a1，a2，a3，a4；候车时间在范围[20,60)的3名乘客编号为b1，b2，b3. 从7人中任选两人包含以下21个基本事件：

(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，其中抽到的两人候车时间都不少于20分钟包含以下3个基本事件：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，

故所求概率为P＝＝.

1．求解古典概型的交汇问题的步骤

(1)根据相关知识构建事件满足的条件．

(2)根据条件列举所有符合的基本事件．

(3)利用古典概型的概率计算公式求概率．

2．破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”

1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案　D

解析　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2>b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.

2．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．

答案　

解析　点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.

3．已知＝(1，k)，＝(4,2)，||≤5，k∈Z，则△ABC是钝角三角形的概率为________．

答案　

解析　因为||＝≤5，所以－2≤k≤2.

又因为k∈Z，所以k＝0，±1，±2，±3，±4.

因为＝－＝(3,2－k)，

若·<0，则k<－2，k＝－3，－4；

若·<0，则－1<k<3，所以k＝0,1,2；

若·<0，则k>8(舍去)．所求概率为.

4．(2018·吉林省梅河口五中二模)某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同)，从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱．活动另附说明如下：

①凡购物满100(含100)元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；

②凡购物满188(含188)元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；

③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；

④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；

⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包；

抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据(单位：元)，绘制得到如图所示的茎叶图．

(1)求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖)；

(2)求这20位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分)；

(3)分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率．

解　(1)这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5＋3＋2＋1＝11.

这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会．

(2)获得抽奖机会的数据的中位数为110，

平均数为×(101＋102＋104＋108＋109＋110＋112＋115＋188＋189＋200)＝≈131.

(3)记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为(红1，红2)，(红1，蓝)，(红1，黄)，(红2，蓝)，(红2，黄)，(蓝，黄)，共6个基本事件．

在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为P1＝，

获得5元的概率为P2＝，获得2元的概率为P3＝＝.