2020年高考数学理科一轮复习讲义：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲

第3讲　二项式定理

1．二项式定理

2．二项式系数的性质

3.常用结论

(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.

(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

(3)C＋2C＋3C＋…＋nC＝n2n－1.

(4)CC＋CC＋…＋CC＝C.

(5)(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.

1．概念辨析

(1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)2n中系数最大的项是第n项．(　　)

(3)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　)

(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．小题热身

(1)8的展开式中常数项为(　　)

A. B. 

C.   D．105

答案　B

解析　二项展开式的通项为

Tk＋1＝C()8－k·k＝kCx4－k，

令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝4C＝.

(2)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)

A．C   B．C

C．C   D．(－1)m－1C

答案　D

解析　(x－y)n的二项展开式中第m项的通项公式为

Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为C·(－1)m－1.

(3)若(x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0的值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

答案　A

解析　令x＝0得，(－1)5＝a0，即a0＝－1.

(4)若n的展开式中所有二项式系数之和为128，则n＝________.

答案　7

解析　由题意，可知2n＝128，解得n＝7.

题型 　二项展开式

角度1　求二项展开式中的特定项或系数

1．(1)(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)

A．10  B．20  C．40  D．80

(2)(2019·茂名模拟)已知a＝cosxdx，则6展开式中，常数项为________．

答案　(1)C　(2)20

解析　(1)由题可得Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r.令10－3r＝4，则r＝2，所以C·2r＝C×22＝40，故选C.

(2)因为a＝cosxdx＝sinx＝1，6展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)6－2r.

令6－2r＝0，解得r＝3，代入得到常数项为20.

角度2　已知二项展开式某项的系数求参数

2．(1)已知(2＋ax)(1－2x)5的展开式中，含x2项的系数为70，则实数a的值为(　　)

A．1  B．－1  C．2  D．－2

(2)记n的展开式中第m项的系数为bm.若b3＝2b4，则n＝________.

答案　(1)A　(2)5

解析　(1)(1－2x)5展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－2x)r，所以(2＋ax)(1－2x)5的展开式中，含x2项的系数为

2×C(－2)2＋aC(－2)＝70，解得a＝1.

(2)Tr＋1＝C(2x)n－rr＝2n－rC·xn－2r.

∵b3＝2b4，∴2n－2·C＝2·2n－3·C.

∴C＝C，∴n＝5.

角度3　多项展开式

3．(1)(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)

A．10  B．20  C．30  D．60

(2)(2019·陕西黄陵中学模拟)5展开式中x2的系数为(　　)

A．120  B．80  C．20  D．45

答案　(1)C　(2)A

解析　(1)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为CC＝30，故选C.

(2)5＝5＝10.

Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r.

令5－r＝2解得r＝3.

T4＝Cx2＝120x2，

所以5展开式中x2的系数为120.

1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路

(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．

(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.

(3)代回通项得所求．见举例说明1.

2．求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路

(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．

(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.

(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项公式，综合考虑．

3．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的四步骤

1．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)

A．15  B．20  C．30  D．35

答案　C

解析　因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.

因为C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.

2．若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中x5与x6的系数相等，则a＝________.

答案　3

解析　展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)r，

因为x5与x6系数相等，所以Ca5＝Ca6，解得a＝3.

3．(2018·河南鹤壁月考)(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为(　　)

A．－30  B．120  C．240  D．420

答案　B

解析　[(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为C×23，x2y2项的系数为C×22，∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为CC×23－CC×22＝480－360＝120.故选B.

题型 　二项式系数的性质或各项系数的和

1．(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.

答案　－33

解析　令x＝1得(－2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32.

令x＝0得，1＝a0；

所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－33.

2．(2018·九江模拟)已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列．

(1)求n；

(2)求展开式中的有理项；

(3)求展开式中系数最大的项．

解　(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，

由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)．

(2)8的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·r＝2－rCx (r＝0,1，…，8)，

要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.

(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，

则＝＝≥1，

＝＝≥1，

解得2≤r≤3.

当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，

因此，第3项和第4项的系数最大，

故系数最大的项为

结论探究1　举例说明1条件不变，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝________.

答案　1024

解析　(1＋3x)5各项系数之和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.

令x＝1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝45＝1024.

结论探究2　举例说明1条件不变，求a0＋a2＋a4.

解　令x＝1得(－2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，

令x＝－1得45＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，

两式相加得－32＋1024＝2(a0＋a2＋a4)，

所以a0＋a2＋a4＝496.

1．赋值法的应用

二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．

(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法

(1)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)．

(2)奇数项系数之和为

a0＋a2＋a4＋…＝.

(3)偶数项系数之和为

a1＋a3＋a5＋…＝.

3．求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤

第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个．

第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：

思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．见举例说明2.

思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组

即可求得答案.

1．(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

答案　－3或1

解析　令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，

又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，

∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，

∴m＝－3或m＝1.

2．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．

答案　－8064　－15360x4

解析　由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为

T6＝C(2x)55＝－8064.

设第k＋1项的系数的绝对值最大，则

Tk＋1＝C·(2x)10－k·k＝(－1)kC·210－k·x10－2k，

令

得即

解得≤k≤.

∵k∈Z，∴k＝3.

故系数的绝对值最大的项是第4项，

T4＝－C·27·x4＝－15360x4.

题型 　二项式定理的应用

1．设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2017等于(　　)

A．i  B．－i  C．－1＋i  D．－1－i

答案　C

解析　x＝＝＝－1＋i，Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2017＝(1＋x)2017－1＝i2017－1＝i－1.

2．已知n为满足S＝a＋C＋C＋C＋…＋C(a≥3)能被9整除的正数a的最小值，则n的展开式中，二项式系数最大的项为(　　)

A．第6项   B．第7项

C．第11项   D．第6项和第7项

答案　B

解析　由于S＝a＋C＋C＋C＋…＋C＝a＋227－1＝89＋a－1＝(9－1)9＋a－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C＋a－1＝9×(C×98－C×97＋…＋C)＋a－2，a≥3，所以n＝11，从而11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项系数为负，所以第7项系数最大．

3．计算1.056.(精确到0.01)

解　1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34.

二项式定理应用的常见题型及求解策略

1．整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项．见举例说明2.

2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．

3．利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x)n≈1＋nx＋x2.见举例说明3.

1．(2018·银川模拟)C＋2C＋4C＋…＋2n－1C等于(　　)

A．3n   B．2·3n 

C.－1 D.

答案　D

解析　C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(C＋2C＋22C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.

2．883＋6被49除所得的余数是(　　)

A．－14  B．0  C．14  D．35

答案　B

解析　由二项式定理展开得

883＋6＝(7＋1)83＋6

＝783＋C×782＋…＋C×72＋C×7＋1＋6

＝72M＋83×7＋7(M是正整数)

＝49M＋49×12

＝49N(N是正整数)．

∴883＋6被49除所得的余数是0.

3．求0.9986的近似值．(精确到0.001)

解　0.9986＝(1－0.002)6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…≈1－0.012＋0.00006≈0.988.

易错防范　二项展开式中项的系数与二项式系数

[典例]　(2018·四川仁寿一中模拟)在n的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　　)

A．15  B．45  C．135  D．405

答案　C

解析　由题意＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－rr＝3rCx，令6－＝3，r＝2,32C＝135.故选C.