2020年高考数学理科一轮复习讲义：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第2讲

第2讲　排列与组合

1．排列与组合的概念

2．排列数与组合数

(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示．

3．排列数、组合数的公式及性质

4．常用结论

(1)①A＝(n－m＋1)A；

②A＝A；

③A＝nA.

(2)①nA＝A－A；

②A＝A＋mA.

(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.

(4)①C＝C；

②C＝C；

③C＝C.

(5)①kC＝nC；

②C＋C＋C＋…＋C＝C.

1．概念辨析

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)

(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　)

(3)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log□□”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题．(　　)

(4)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题．(　　)

(5)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

2．小题热身

(1)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言(　　)

A．1560条  B．780条  C．1600条  D．800条

答案　A

解析　由题意，得毕业留言共A＝1560条．

(2)从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有________种．

答案　36

解析　分两类：

第1类是有1名女生，共有C·C＝2×15＝30种；

第2类是有2名女生，共有C·C＝1×6＝6种．

由分类加法计数原理得，共有30＋6＝36种．

(3)有大小和形状完全相同的3个红色小球和5个白色小球，将它们排成一排，共有________种不同的排列方法．

答案　56

解析　8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有C＝56种排法．

(4)从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有________种．

答案　240

解析　因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A·A＝240种．

题型 　排列问题

7位同学站成一排：

(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？

(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？

解　(1)其中甲站在中间的位置，共有A＝720种不同的排法．

(2)甲、乙只能站在两端的排法共有AA＝240种．

(3)7位同学站成一排，共有A种不同的排法；

甲排头，共有A种不同的排法；

乙排尾，共有A种不同的排法；

甲排头且乙排尾，共有A种不同的排法；

故共有A－2A＋A＝3720种不同的排法．

(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AA＝1440种．

(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：

解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AAA＝960种方法．

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素．

若丙站在排头或排尾有2A种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A－2A)·A＝960种方法．

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A种方法．

再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有AAA＝960种方法．

(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：

解法一：(间接法)A－A·A＝3600种．

解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A种方法，所以一共有：A·A＝3600种．

(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有＝2520种．

结论探究1　若将举例说明结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？

解　先将其余四个同学排好，有A种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有AA＝1440种方法．

结论探究2　若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？

解　7位同学站成一排，共有A种不同的排法；

甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有AA＝720种．

故共有A－AA＝4320种不同的排法．

结论探究3　(1)若将7人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？

(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？

解　(1)站成两排(前3后4)，共有A＝5040种不同的排法．

(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法．

1．求解有限制条件排列问题的主要方法

2．解决有限制条件排列问题的策略

(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．

(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．

提醒：(1)分类要全，以免遗漏．

(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数．

(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确.

1．一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组有3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)

A．A(A)3   B．(A)4A

C. D.

答案　B

解析　12个座位坐了4个小组的成员，每个小组有3人，操作如下：先分别把第1,2,3,4小组的3个人安排坐在一起，各有A种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有A种不同的排法，根据分步乘法计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有(A)4·A种不同的坐法．

2．(2018·青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．

答案　60

解析　2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A·A＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不能连续出场的排法共有N2＝A·A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.

题型 　组合问题

1．将12个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个桶中，要求每个桶中放入球的数量不得少于该桶的编号，则分配方案有(　　)

A．10种  B．12种  C．14种  D．16种

答案　A

解析　解法一：根据题意，先在编号为2,3,4的3个桶中分别放入1,2,3个小球，编号为1的桶里不放球，再将剩下的6个小球放入四个桶里，每个桶里至少一个，将6个球排成一排，中间有5个空，插入3块挡板分为四堆放入四个桶中即可，共C＝10种方法．

解法二：先在编号为1,2,3,4的四个桶中分别放入与编号相同的球数，剩余2个球，把2个球放入同一个桶中有4种方法，2个球放入不同的桶中有C＝6种方法，所以分配方案有4＋6＝10种．

2．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为(　　)

A．CC＋CC   B．CC＋CC

C．CC＋CC＋CC   D．CC＋CC

答案　C

解析　作出的三角形可以分成两类，一类是含有O点的，另一类是不含O点的．①含有O点的，则在OA，OB上各取1个点，共有CC个；②不含有O点的，则在OA上取一点，OB上取两点，或者在OA上取两点，OB上取一点，共有CC＋CC个．所以可作的三角形个数为CC＋CC＋CC，故选C.

3．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．

答案　968

解析　依题意共有8类不同的和声，当有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C种不同的和声，则和声总数为C＋C＋C＋…＋C＝210－C－C－C＝1024－1－10－45＝968.

1．组合问题的常见题型及解题思路

(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．

(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．见举例说明2.

2．两类带有附加条件的组合问题的解法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．见举例说明3.

1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同取法的种数是(　　)

A．60  B．63  C．65  D．66

答案　D

解析　因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使取出的4个不同的数的和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C＋C＋CC＝66种不同的取法．

2．(2019·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有(　　)

A．72种  B．36种  C．24种  D．18种

答案　B

解析　2名内科医生，每村一名，有2种方法；3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有：则分1名外科医生、2名护士和2名外科医生、1名护士，若甲村有1名外科医生、2名护士，则有CC＝9(种)，其余的分到乙村；

若甲村有2名外科医生、1名护士，则有CC＝9(种)，其余的分到乙村；

则总的分配方案有2×(9＋9)＝36(种)．

题型 　排列组合的综合应用

角度1　排列组合的简单应用

1．(1)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是(　　)

A．18  B．24  C．36  D．42

(2)(2019·开封模拟)某班主任准备请2016届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有________种(用数字作答)．

答案　(1)D　(2)1080

解析　(1)由题设可分两类：一类是甲地有1名女生，先考虑甲地，有CC种选法，再考虑乙、丙两地，有A种选法，共有CCA＝36(种)选法；另一类是甲地有2名女生，则甲地有C种选法，乙、丙两地有A种选法，共有CA＝6(种)选法．由分类加法计数原理可得，不同的选派方法共有36＋6＝42(种)，应选D.

(2)若甲、乙同时参加，有CCCAA＝120种，若甲、乙有一人参与，有CCA＝960种，从而总共的发言顺序有1080种．

角度2　分组分配问题

2．(1)将6名同学平均分成三组，每组两人，则不同的分组方法的种数为(　　)

A．60  B．30  C．15  D．10

(2)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有(　　)

A．96种  B．124种  C．130种  D．150种

答案　(1)C　(2)D

解析　(1)平均分成三组的方法种数为＝15.

(2)∵五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，

∴可以把5个参会国分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2.

当按照1、1、3来分时，共有CA＝60(种)；当按照1、2、2来分时，共有·A＝90(种)，

根据分类加法计数原理知共有60＋90＝150(种)，故选D.

1．解决简单的排列与组合综合问题的思路

(1)根据附加条件将要完成事件先分类．

(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．

(3)由分类加法计数原理计算总数．

2．分组、分配问题的求解策略

(1)对不同元素的分配问题

①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．

②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．见举例说明2(2)．

③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．

(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”.

1．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)

A．36种  B．24种  C．22种  D．20种

答案　B

解析　根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，有CAA＝12种推荐方法．所以共有24种推荐方法，故选B.

2．某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为(　　)

A．60  B．40  C．120  D．240

答案　A

解析　由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有＝3(种)不同的分法，再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A＝60(种)不同的安排方法．故选A.