2020年高考数学理科一轮复习讲义：第9章统计与统计案例第1讲

第1讲　随机抽样

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．

2．系统抽样

(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．

(2)系统抽样的操作步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

①先将总体的N个个体编号；

②确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；当不是整数时，可随机地从总体中剔除余数x，取k＝；

③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

注：三种抽样方法的比较

1．概念辨析

(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)

(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．(　　)

(3)分层抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本，分层抽样为保证各个个体等可能入样，必须进行每层等可能抽样．(　　)

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．小题热身

(1)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是(　　)

A．总体

B．个体

C．样本容量

D．从总体中抽取的一个样本

答案　A

解析　从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体．

(2)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)

A．50  B．40  C．25  D．20

答案　C

解析　由已知得，分段的间隔为＝25.

(3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2<p3  B．p2＝p3<p1

C．p1＝p3<p2  D．p1＝p2＝p3

答案　D

解析　因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等．故选D.

(4)(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

答案　分层抽样

解析　由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样．

题型 　简单随机抽样

1．下列抽样检验中，适合用抽签法的是(　　)

A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验

答案　B

解析　A，D中总体的个体数较多，不适宜用抽签法，C中，一般甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜用抽签法．故选B.

2．(2018·河北模拟)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)

A．08  B．07  C．02  D．01

答案　D

解析　选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01.故选D.

3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案　C

解析　根据题意，＝，解得n＝28.

故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为＝.

1．简单随机抽样的特点

(1)抽取的个体数较少．(2)是逐个抽取．(3)是不放回抽取．(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．

2．抽签法与随机数法的适用情况

(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．

(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．下面的抽样方法是简单随机抽样的为(　　)

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

答案　D

解析　A，B是系统抽样，C是分层抽样，D是简单随机抽样．

2．某班对期中考试成绩进行分析，利用随机数法从全班64名同学中抽取7人进行分析，先将64名同学按01,02,03，…，64进行编号，然后从所给随机数表第1行第8列的数开始向右读，则选出的7名同学的编号为________．

63 01 63 78 59' 16 95 55 67 19' 98 10 50 71 75

12 86 73 58 07' 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29' 78 64 56 07 82' 52 42 07 44 38

15 51 00 13 42' 99 66 02 79 54

答案　55,56,05,07,17,51,28

解析　从随机数表第1行第8列的数字8开始向右读，选出的7名同学的编号为55,56,05,07,17,51,28.

题型 　系统抽样

(2019·徐州模拟)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为(　　)

A．8  B．10  C．12  D．16

答案　B

解析　从80件产品中用系统抽样的方法抽取5件，则可将这80件产品分成5组，每组16件，每组抽取1件，而编号为42的产品在第3组，所以第1组所抽取产品的编号为42－16×2＝10.故选B.

条件探究1　把举例说明中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知编号为10，a,42，b,74号在样本中”，求a＋b.

解　由举例说明中解析易知编号构成首项为10，公差为16的等差数列，易求得a＝26，b＝58，故a＋b＝84.

条件探究2　把举例说明中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到产品的编号之和为185”，则抽到的最小编号是多少？

解　利用等差数列前n项和公式S5＝5a1＋×16＝185，得a1＝5.

系统抽样的注意点

(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．

(2)若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．

(3)抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．

(4)如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·湖北黄冈中学模拟)某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为(　　)

A．16  B．17  C．18  D．19

答案　C

解析　∵从1000名学生中抽取一个容量为40的样本，

∴系统抽样的分段间隔为＝25.

设第一组随机抽取一个号码为x，

则第18组的抽取编号为x＋17×25＝443，∴x＝18.

2．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________．

答案　3

解析　系统抽样的抽取间隔为＝6.

设抽到的最小编号为x，

则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.

题型 　分层抽样

角度1　求总体容量

1．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N＝________.

答案　200

解析　由题意可得＝，故N＝200.

角度2　求每层中的样本数量

2．(2018·吉林通化模拟)分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是(　　)

A．甲应付51钱

B．乙应付32钱

C．丙应付16钱

D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少

答案　B

解析　依题意由分层抽样可知，100÷(560＋350＋180)＝，

则甲应付：×560＝51(钱)；

乙应付：×350＝32(钱)；

丙应付：×180＝16(钱)．

分层抽样问题类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．

(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．

(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”．

提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·(i＝1,2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·南昌模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人，高二1200人，高三n人中，抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n＝(　　)

A．860  B．720  C．1020  D．1040

答案　D

解析　由已知条件得，抽样比为＝，从而＝，解得n＝1040.

2．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生(　　)

A．1030人  B．97人  C．950人  D．970人

答案　D

解析　由题意可知抽样比为＝，

设样本中女生有x人，则x＋(x＋6)＝200，

所以x＝97，该校共有女生＝970人．