2020年高考数学理科一轮复习讲义：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第1讲

第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1．两个计数原理

2．两个计数原理的区别与联系

1．概念辨析

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)

(2)在分步乘法计数原理中，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成．(　　)

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)

(4)如果完成一件事情有n个不同的步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)从甲地到乙地，每天飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班．某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有(　　)

A．22种  B．33种  C．300种  D．3600种

答案　B

解析　由分类加法计数原理知共有5＋10＋6＋12＝33种出行方案．

(2)某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有(　　)

A．8种  B．15种  C．35种  D．53种

答案　C

解析　发5封不同的电子邮件，分5步，每一步有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的发送方法有35种．

(3)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)

A．30个  B．42个  C．36个  D．35个

答案　C

解析　∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．

(4)如图，要让电路从A处到B处接通(只考虑每个小并联单元只有一个开关闭合的情况)，可有________条不同的路径．

答案　9

解析　分以下三种情况计数．

①第一层有3×2＝6种路径；

②第二层有1种路径；

③第三层有2种路径；

由分类加法计数原理知，共有6＋1＋2＝9种路径．

题型 　分类加法计数原理的应用

1．(2018·石家庄模拟)满足a，b∈{－1,1,2}，则关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)

A．9  B．8  C．7  D．6

答案　D

解析　由a，b的取值可知，ax2＋2x＋b＝0有实数解的条件为Δ＝22－4ab＝4－4ab≥0.当a＝－1时，b＝－1，1,2，共3种情况；当a＝1时，b＝－1,1，共2种情况；当a＝2时，b＝－1，有1种情况，共有3＋2＋1＝6种情况．

2．已知椭圆＋＝1，若a∈{2,4,6,8}，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，这样的椭圆有________个(　　)

A．12  B．16  C．28  D．32

答案　C

解析　解法一：若焦点在x轴上，则a>b，a＝2时，有1个；a＝4时，有3个；a＝6时，有5个；a＝8时，有7个，共有1＋3＋5＋7＝16个．

若焦点在y轴上，则b>a，b＝3时，有1个；b＝4时，有1个；b＝5时，有2个；b＝6时，有2个；b＝7时，有3个，b＝8时，有3个．共有1＋1＋2＋2＋3＋3＝12个．故共有16＋12＝28个．

解法二：椭圆中a≠b，而a＝b有4种情况，故椭圆的个数为4×8－4＝28.

1．分类加法计数原理的用法及要求

(1)用法：应用分类加法计数原理进行计数时，需要根据完成事件的特点，将要完成一件事的方法进行“分类”计算．

(2)要求：各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．

2．使用分类加法计数原理遵循的原则

有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．

提醒：对于分类类型较多，而其对立事件包含的类型较少的可用间接法求解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)

A．4种  B．6种  C．10种  D．16种

答案　B

解析　分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲

同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法．

由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．故选B.

2．(2019·重庆模拟)在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1,2,3,4,5,6)中的元素．又点P到原点的距离|OP|≥5，则这样的点P的个数为________．

答案　20

解析　依题意可知，

当a＝1时，b＝5,6,2种情况；

当a＝2时，b＝5,6,2种情况；

当a＝3时，b＝4,5,6,3种情况；

当a＝4时，b＝3,5,6,3种情况；

当a＝5或6时，b各有5种情况．

由分类加法计数原理得点P的个数为2＋2＋3＋3＋5＋5＝20.

题型 　分步乘法计数原理

1．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24  B．18  C．12  D．9

答案　B

解析　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.

2．某市汽车牌照号码可以网上自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母G，L中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主从左到右第一个号码只想在1,3,5,7中选择，其他号码只想在1,3,6,8,9中选择，则供他可选的车牌号码的种数为(　　)

A．21  B．800  C．960  D．1000

答案　D

解析　分步完成．从左到右第一个号码有4种选法，第二个号码有2种选法，第三个号码有5种选法，第四个号码有5种选法，第5个号码有5种选法，共有4×2×5×5×5＝1000种不同的选法．

条件探究　把举例说明2中的条件“G，L”改为“B，C，D”，“1,3,5,7”改为“3,5,6,8,9”，“1,3,6,8,9”改为“1,3,6,9”，其他条件不变，应如何解答？

解　按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．

1．分步乘法计数原理的用法及要求

(1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步”计算．

(2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各个步骤都完成，才算完成这件事．

2．应用分步乘法计数原理的注意点

(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事．

(2)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取.

在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

答案　2880

解析　分两步安排这8名运动员．

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．故安排方式有4×3×2＝24(种)．

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．故安排这8人的方式共有24×120＝2880(种)．

题型 　两个计数原理的综合应用

角度1　与数字有关的问题

1．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有(　　)

A．144个  B．120个  C．96个  D．72个

答案　B

解析　由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数．故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个)．

角度2　涂色、种植问题

2．(2019·天津模拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)

A．24  B．48  C．72  D．96

答案　C

解析　分两种情况：

①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)涂法．

②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法．故共有24＋48＝72种涂色方法．

角度3　分配问题

3．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级的学生平均分配到甲、乙两家公司，其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一家公司，另3名擅长电脑的学生也不能分给同一家公司，则不同的分配方案有(　　)

A．36种  B．38种  C．108种  D．114种

答案　A

解析　由题意可知，有2种分配方案：①分给甲公司2名擅长电脑的学生，有3种可能；1名英语成绩优秀的学生，有2种可能；再从剩下的3人中选1人，有3种可能，共有3×2×3＝18种分配方案．②分给甲公司1名擅长电脑的学生，有3种可能；1名英语成绩优秀的学生，有2种可能；再从剩下的3人中选2人，有3种可能，共有3×2×3＝18种分配方案．由分类加法计数原理，可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)，故选A.

1．利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么．

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．

(3)弄清分步、分类的标准是什么．

(4)利用两个计数原理求解．

2．与数字有关的问题的解题思路

一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步计数，当分类较多时，也可用间接法求解．如举例说明1.

3．涂色(种植)问题的解题关注点和关键

(1)关注点：分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素．

(2)关键是对每个区域逐一进行，分步处理．如举例说明2.

4．分配问题的解题思路

一般按分配规则总体分类，每类中再分步计数．如举例说明3.

提醒：对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化，以图助解.

1．(2018·吉林省实验中学四模)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量高的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有(　　)

A.9种  B．18种  C．12种  D．36种

答案　B

解析　给四块菜地分别标记为1号位，2号位，3号位，4号位，若有两块菜地种植西红柿，则它们在1、3,1、4或2、4号位，其他两号位分别种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6种种植方式．同理，两块菜地种植黄瓜或茄子也都有6种种植方式，所以共有6×3＝18种种植方式．故选B.

2．(2018·石家庄模拟)为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为________．(用数字作答)

答案　24

解析　若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有3×2×2＝12(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有2×3×2＝12(种)方案，所以共有24种推荐方案．

3．(2018·湖北模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则：

(1)4位回文数有________个；

(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．

答案　(1)90　(2)9×10n

解析　(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法．共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个．

(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．由计数原理，共有9×10n种填法．