2020年高考数学理科一轮复习讲义：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第6讲

第6讲　几何概型

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的两个基本特点

3．几何概型的概率公式

P(A)＝.

1．概念辨析

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　)

(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　)

(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

答案　A

解析　如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，

所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故选A.

(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为＝.故选B.

解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－＝.故选B.

(3)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．

答案　

解析　根据题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝.

(4)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．

答案　

解析　设事件M为“动点在三棱锥A－A1BD内”，

则P(M)＝

＝

＝＝.

题型 　与长度(角度)有关的几何概型

1．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A　

解析　不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.

2．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于点M，则使得AM小于AC的概率为________．

答案　

解析　当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝＝67.5°.当∠ACM＜67.5°时，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝＝＝.

条件探究1　把举例说明1的条件“－1≤log≤1”改为“使函数y＝有意义”，试求其概率．

解　由log(4x－3)≥0得0＜4x－3≤1，即x∈，由几何概型的概率公式，得P＝＝.

条件探究2　把举例说明1的条件“－1≤log≤1”改为“2≤2≤4”，试求其概率．

解　由2≤2≤4得1≤x＋≤2，即x∈，由几何概型的概率公式，得P＝＝.

1．与长度有关的几何概型

(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为

P(A)＝.

(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题

与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解．

2．与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知函数f(x)＝－x3＋3x2，在区间(－2,5)上任取一个实数x0，则f′(x0)≥0的概率为________．

答案　

解析　因为f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，

所以由f′(x0)≥0，解得0≤x0≤2.

由几何概型的概率计算公式得

f′(x0)≥0的概率P＝＝.

2．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为　　　　.

答案　

解析　因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.

题型 　与面积有关的几何概型

角度1　与随机模拟相关的几何概型

1．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得＝⇒π＝.故选C.

角度2　与平面图形面积有关的问题

2．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2   B．p1＝p3

C．p2＝p3   D．p1＝p2＋p3

答案　A

解析　不妨取AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积为S△ABC＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p1＝p2，故选A.

角度3　与线性规划有关的几何概型

3．在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是确定的平面区域，如图所示(阴影部分)，

阴影部分的面积是1－×2＝，所以这两个数之和小于的概率是.

角度4　与定积分有关的几何概型

4．(2015·福建高考)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．

答案　

解析　由题图可知S阴影＝S矩形ABCD－x2dx＝1×4－＝4－＝，则所求事件的概率P＝＝＝.

1．与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路

利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见举例说明1、2.

2．与线性规划交汇问题的解题思路

先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见举例说明3.

3．与定积分交汇问题的解题思路

先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．见举例说明4.

1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A.　   B. 

C.   D.

答案　B

解析　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形＝4.

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知所求概率P＝＝＝.故选B.

2．(2018·枣庄二模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　把图中阴影正方形分割后，移成如图所示，观察图形可知此点取自阴影部分的概率是.

3．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)＝sinx和余弦曲线g(x)＝cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　由题图可知矩形ABCD的面积为2π，由sinx＝cosx得xF＝，故阴影部分的面积为

所以点落在阴影区域内的概率P＝.

4．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．

若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．

解　设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得

a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.基本事件为

所表示的区域，

B＝，

如图，区域B为图中阴影部分去掉直线x－2y＝0上的点，

所以，

P(B)＝＝，

即向量a，b的夹角是钝角的概率是.

题型 　与体积有关的几何概型

某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为3的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的对角线，即2r＝＝2，所以球的体积为，所以点落在四面体内的概率为＝.

与体积有关的几何概型问题

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：

P(A)＝.

求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积.

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为________．

答案　

解析　过M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M－ABCD的高，显然M在平面RS上任意位置时，四棱锥M－ABCD的体积都相等．若此时四棱锥M－ABCD的体积等于.只要M在截面以下即可小于，当VM－ABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝＝.