2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第7讲

第7讲　抛物线

1．抛物线的定义

平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

3．必记结论

(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．

(2)y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.

(3)直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．

①y1y2＝－p2，x1x2＝.

②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.

③＋为定值.

④弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．

⑤以AB为直径的圆与准线相切．

⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.

1．概念辨析

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)

(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)

(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)

A. B. 

C.   D．0

答案　B

解析　M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.

(2)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)

A．y2＝±2x   B．y2＝±2x

C．y2＝±4x   D．y2＝±4x

答案　D

解析　∵双曲线x2－y2＝1的焦点坐标为(±，0)，

∴抛物线C的焦点坐标为(±，0)．

设抛物线C的方程为y2＝±2px(p>0)，则＝.

∴p＝2，∴抛物线C的方程是y2＝±4x.故选D.

(3)若过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)

A．8  B．16  C．32  D．64

答案　B

解析　由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.故选B.

(4)抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．

答案　

解析　由8x2＋y＝0，得x2＝－y.

∴2p＝，p＝，∴焦点坐标为.

题型 　抛物线的定义及应用

(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点F的距离为10，则M到y轴的距离是________．

答案　9

解析　设M(x0，y0)，由抛物线的方程知焦点F(1,0)．根据抛物线的定义得|MF|＝x0＋1＝10，∴x0＝9，即点M到y轴的距离为9.

条件探究1　将举例说明条件变为“过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝3”，求△AOB的面积．

解　焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得点A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以点B的横坐标为，纵坐标为－，所以S△AOB＝×1×(2＋)＝.

条件探究2　将举例说明条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)”．求点M的坐标及此时的最小值．

解　如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，

其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．

过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，

则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，

当且仅当点M在M1的位置时等号成立．

此时点M的坐标为(1,2)．

利用抛物线的定义可解决的常见问题

(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．

(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．

(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为(　　)

A. B. 

C.   D．3

答案　C

解析　设抛物线的准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，直线l交准线于C，如图所示：

则|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，|AF|＝3|BF|，|AN|＝2|BF|，|AB|＝4|BF|，cos∠NAB＝，∠NAB＝60°，则直线l的斜率为.

2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)

A.   B．3 

C. D.

答案　A

解析　如图所示，A(0,2)，F，由抛物线的定义知|PP′|＝|PF|，∴|AP|＋|PP′|＝|AP|＋|PF|≥|AF|＝＝.故选A.

题型 　抛物线的标准方程和几何性质

1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝－x   B．x2＝－8y

C．y2＝－8x或x2＝－y   D．y2＝－x或x2＝－8y

答案　D

解析　设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.

2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_______．

答案　x2＝4y

解析　△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，

所以解得

所以抛物线方程为x2＝4y.

1．求抛物线标准方程的方法

(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系．

(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．

2．抛物线性质的应用技巧

(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．

(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)

A．x2＝y   B．x2＝y

C．x2＝8y   D．x2＝16y

答案　D

解析　双曲线的离心率e＝＝ ＝2，所以＝，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x即 y＝±x，抛物线的焦点为，焦点到渐近线的距离d＝＝＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.

2．(2018·枣庄二模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)

A.  B．－  C．±  D．－

答案　B

解析　令y＝1，代入y2＝4x可得x＝，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以k＝＝－.故选B.

题型 　直线与抛物线的综合问题

角度1　直线与抛物线的交点问题

1．(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．

答案　(1,0)

解析　由已知，直线l：x＝1，又因为l被抛物线截得的线段长为4，抛物线的图象关于x轴对称，所以点(1,2)在抛物线上，即22＝4a×1，解得a＝1.故抛物线的方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．

2．(2018·长郡中学新高三实验班选拔考试)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)及点D，动直线l：y＝kx＋1与抛物线C交于A，B两点，若直线AD与BD的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若H为抛物线C上不与原点O重合的一点，点N是线段OH上与点O，H不重合的任意一点，过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P，M，求证：|MN|·|ON|＝|MP|·|OH|.

解　(1)把y＝kx＋1代入x2＝2py得x2－2pkx－2p＝0，

设A，B，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.

由α＋β＝π可知，直线AD的斜率与直线BD的斜率之和为零，所以＋＝0，

去分母整理得(x1＋x2)(x1x2＋p2)＝0，

即2pk(p2－2p)＝0，由该式对任意实数k恒成立，可得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)证明：设过点N的垂线方程为x＝t(t≠0)，

由得即点P.

令＝λ，则N，

所以直线ON的方程为y＝x，

由且x≠0得即点H，

所以＝＝＝λ，所以＝，

即|MN|·|ON|＝|MP|·|OH|.

角度2　与抛物线弦中点有关的问题

3．(2018·郑州模拟)已知抛物线C：y＝mx2(m＞0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

(1)求抛物线C的焦点坐标；

(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；

(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

解　(1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F.

(2)∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.

(3)存在，联立方程

消去y得mx2－2x－2＝0，

依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)＞0⇒m＞－.

设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)

∵P是线段AB的中点，

∴P，即P，

∴Q.

得＝，＝，

若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，

即·＋＝0，

结合(*)化简得－－＋4＝0，

即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，

而2∈，－∉.

∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．

1．直线与抛物线交点问题的解题思路

(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．

(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．

2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法

(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．

提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程，见巩固迁移2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(4,4)，则线段AB的中点到准线的距离是________．

答案　

解析　抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，所以kAF＝＝.

所以直线l的方程为y－0＝(x－1)，

即y＝(x－1)．

由消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，

所以线段AB的中点的横坐标为.

所以线段AB的中点到准线的距离是－(－1)＝.

2．(2018·衡水模拟)已知抛物线C：y2＝ax(a>0)上一点P到焦点F的距离为2t.

(1)求抛物线C的方程；

(2)抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．

解　(1)由抛物线的定义可知|PF|＝t＋＝2t，则a＝4t，由点P在抛物线上，则at＝.

所以a×＝，则a2＝1，

由a>0，则a＝1，故抛物线的方程为y2＝x.

(2)证明：因为A点在抛物线上，且yA＝1.所以xA＝1，所以A(1,1)，设过点Q(3，－1)的直线l的方程为x－3＝m(y＋1)．即x＝my＋m＋3，代入y2＝x得y2－my－m－3＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3，

所以k1·k2＝·

＝

＝＝－，

为定值．