2020年高考数学理科一轮复习讲义：第6章不等式第1讲

第六章　不等式

第1讲　不等关系与不等式的性质及一元二次不等式

1．两个实数比较大小的依据

2．不等式的基本性质

3．必记结论

(1)a>b，ab>0⇒<.

(2)a<0<b⇒<.

(3)a>b>0,0<c<d⇒>.

(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.

(5)若a>b>0，m>0，则<；

>(b－m>0)；>；

<(b－m>0)．

4．一元二次函数的三种形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(2)顶点式：y＝a2＋(a≠0)．

(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

5．三个二次之间的关系

1．概念辨析

(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．小题热身

(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于(　　)

A．(0,4]   B．[0,4)

C．[－1,0)   D．(－1,0]

答案　B

解析　因为M＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝[0,4)．

(2)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　)

A．ab>ac   B．c(b－a)<0

C．cb2<ab2   D．ac(a－c)>0

答案　A

解析　因为c<b<a，且ac<0，所以a>0，c<0.b的符号不确定，b－a<0，a－c>0，据此判断A成立，B，C，D不一定成立．

(3)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)

A．M>N  B．M≥N  C．M<N  D．M≤N

答案　A

解析　M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，故M>N.

(4)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________．

答案　[－4,0]

解析　当a＝0时，f(x)＝－1≤0成立，

当a≠0时，若对∀x∈R，f(x)≤0，

须有

解得－4≤a＜0.

综上知，实数a的取值范围是[－4,0]．

题型 　不等式性质的应用

1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A.＞  B.＜  C.＞  D.＜

答案　D

解析　解法一：⇒

⇒＞⇒＜.故选D.

解法二：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，

代入验证得A，B，C均错误，只有D正确．故选D.

2．已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．

答案　<

解析　当q＝1时，＝3，＝5，所以<.

当q>0且q≠1时，

－＝－

＝＝<0，

所以<.

综上可知<.

3．已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

解　由题意知f(x)＝ax2＋bx，则f(－2)＝4a－2b，

由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，

设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，

即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，

所以解得

所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．

又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，

所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，

即f(－2)的取值范围是[6,10]．

1．判断不等式是否成立的方法

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．

(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．

2．比较两个数(式)大小的两种方法

3．求代数式的取值范围

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是(　　)

A．①④  B．②③  C．①③  D．②④

答案　C

解析　因为<<0，所以b<a<0，|b|>|a|，所以|a|＋b<0，ln a2<ln b2，由a>b，－>－可推出a－>b－，显然有<0<，综上知，①③正确，②④错误．

2．若a>0，且a≠7，则(　　)

A．77aa<7aa7

B．77aa＝7aa7

C．77aa>7aa7

D．77aa与7aa7的大小不确定

答案　C

解析　显然77aa>0,7aa7>0，

因为＝7·a＝7·－a＝7－a.

当a>7时，0<<1,7－a<0，7－a>1，

当0<a<7时，>1,7－a>0，7－a>1.

综上知77aa>7aa7.

3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．

答案　(－3,3)

解析　∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.

∴－3<α－|β|<3.

题型 　不等式的解法

1．函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．(－∞，1)∪(3，＋∞)  B．(1,3)

C．(－∞，2)∪(2，＋∞)  D．(1,2)∪(2,3)

答案　D

解析　由题意得

即解得1<x<3且x≠2，

所以函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．

2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．

解　本题采用分类讨论思想．

原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.

①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.

②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，

解得x≥或x≤－1.

③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.

当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；

当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；

当<－1，即0>a>－2，解得≤x≤－1.

综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；

当a>0时，不等式的解集为{x；

当－2<a<0时，不等式的解集为{x；

当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；

当a<－2时，不等式的解集为{x.

条件探究　把举例说明2中的不等式改为“ax2－(a＋1)x＋1<0，a∈R”，如何解答？

解　若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.

若a<0，则原不等式等价于(x－1)>0，解得x<或x>1.

若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.

①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；

②当a>1时，<1，解(x－1)<0得<x<1；

③当0<a<1时，>1，解(x－1)<0得1<x<.

综上所述，当a<0时，解集为{x；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x.

1．解一元二次不等式的四个步骤

2．分式不等式的解法

求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．

(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；如巩固迁移2.

(2)≥0(≤0)⇔

3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤

1．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝，故选A.

2．不等式≥－1的解集为________．

答案　{x

解析　将原不等式移项通分得≥0，

等价于解得x≤或x>5.

∴原不等式的解集为{x.

题型 　二次不等式中的任意性与存在性

角度1　任意性与存在性

1．(1)若关于x的不等式x2－ax－a＞0的解集为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围；

(2)若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，求实数a的取值范围．

解　(1)设f(x)＝x2－ax－a，则关于x的不等式x2－ax－a＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f(x)＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f(x)min＞0，即f(x)min＝－＞0，解得－4＜a＜0(或用Δ<0)．

(2)设f(x)＝x2－ax－a，则关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集⇔f(x)≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f(x)min≤－3，

即f(x)min＝－≤－3，解得a≤－6或a≥2.

角度2　给定区间上的任意性问题

2．(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．

(2)设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

答案　(1)　(2)见解析

解析　(1)要满足f(x)＝x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，

只需即

解得－＜m＜0.

(2)要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即

m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

解法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，

所以0<m<；

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，

所以m<6，所以m<0.

综上所述，m的取值范围是{m.

解法二：因为x2－x＋1＝2＋>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.

因为函数y＝＝

在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．

所以m的取值范围是{m.

角度3　给定参数范围的恒成立问题

3．已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　)

A．(－∞，2)∪(3，＋∞)

B．(－∞，1)∪(2，＋∞)

C．(－∞，1)∪(3，＋∞)

D．(1,3)

答案　C

解析　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，

则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，

所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，

且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组

得x＜1或x＞3.故选C.

形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路

(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．

(2)x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求范围．如举例说明2.

(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．如举例说明3.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．

答案　

解析　由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范围为.

2．函数f(x)＝x2＋ax＋3.

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．

解　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，

需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，

∴实数a的取值范围是[－6,2]．

(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：

①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.

②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，

但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，

即即

可得解得a∈∅.

③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.

即即

可得∴－7≤a≤－6.

综上，实数a的取值范围是[－7,2]．

(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.

当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．

只需即

解得x≤－3－或x≥－3＋.

∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．