2020年高考数学理科一轮复习讲义：第5章数列第1讲

第五章　数列

第1讲　数列的概念与简单表示法

1．数列的有关概念

2．数列的分类

3．数列{an}的an与Sn的关系

(1)数列{an}的前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an.

特别提醒：若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．

1．概念辨析

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)

(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)

(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(　　)

A．21  B．33  C．152  D．153

答案　C

解析　代n值进行验证，n＝1时，A满足；n＝2时，B满足；n＝12时，D满足．故选C.

(2)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)

A．15  B．16  C．49  D．64

答案　A

解析　a8＝S8－S7＝82－72＝15.

(3)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1－＝，

a4＝1＋＝1＋2＝3，a5＝1＋＝1－＝.

(4)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.

答案　(n∈N*)

解析　观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式an＝(n∈N*)．

题型 　知数列前几项求通项公式

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)－1,7，－13,19，…；

(2)0.8,0.88,0.888，…；

(3)1,0，，0，，0，，0，…；

(4)，1，，，….

解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．

(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，

∴an＝.

(3)把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝或an＝.

(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，

所以可得它的一个通项公式为an＝.

由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③各项的符号特征和绝对值特征；

④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明(4)．

⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．如举例说明(1)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)，，，，，…；

(2)，，－，，－，，…；

(3)，2，，8，，…；

(4)5,55,555,5555，….

解　(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝.

(2)数列可以改为－，，－，，－，，…，则分母为2n，分子为2n－3，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n.

(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.

(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．

题型 　由an与Sn的关系求通项公式

1．已知Sn＝3n＋2n＋1，则an＝________.

答案　

解析　因为当n＝1时，a1＝S1＝6；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，

由于a1不适合此式，所以an＝

2．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

答案　－

解析　由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，

两边同时除以SnSn＋1得－＝1，

即－＝－1.又∵＝－1，

∴是首项为－1，公差为－1的等差数列，

∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，即Sn＝－.

条件探究1　把举例说明2中的条件“a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1”改为“Sn＝2an＋1”，求an.

解　依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，

两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an.

又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，

所以数列{an}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，an＝－2n－1.

条件探究2　把举例说明2中的条件“a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1”改为“S2＝4，an＋1＝2Sn＋1”．求an.

解　因为an＋1＝2Sn＋1，①

所以a2＝2S1＋1，即a2＝2a1＋1.

又因为a1＋a2＝S2＝4，所以a1＝1，a2＝3.

当n≥2时，an＝2Sn－1＋1，②

①－②得an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，

故数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，

因此an＝3n－1(n∈N*)．

1．已知Sn求an的三个步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1.

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．如举例说明1.

2．Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．

(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．如举例说明2.

(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．如举例说明2的条件探究1,2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2017·全国卷Ⅲ改编)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.

答案　(n∈N*)

解析　因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．

两式相减得(2n－1)an＝2，

所以an＝(n≥2)．

又由题设可得a1＝2，满足上式，

从而{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．

2．若数列{an}的前n项和为Sn首项a1>0且2Sn＝a＋an(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．

解　当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，

即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1，

∴an＝(－1)n－1或an＝n.

题型 　由递推关系求通项公式

角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an

1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求通项公式an.

解　∵an＋1＝an＋ln ，

∴an－an－1＝ln ＝ln (n≥2)，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln 2＋2

＝2＋ln

＝2＋ln n(n≥2)．

又a1＝2适合上式，

故an＝2＋ln n(n∈N*)．

角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an

2．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.

解　∵an＝an－1(n≥2)，

∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.

以上(n－1)个式子相乘得

an＝a1···…·＝＝.

当n＝1时也满足此等式，∴an＝.

角度3　形如an＋1＝pan＋q，求an

3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公式an.

解　递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)，令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则bn＝4×2n－1＝2n＋1，

所以an＝2n＋1－3.

1．叠加法求通项公式的四步骤

2．叠乘法求通项公式的四步骤

3．构造法求通项公式的三步骤

1．数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，则通项公式an＝________.

答案　(n∈N*)

解析　an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.

即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．

当n为偶数时，a2＝1，

故an＝a2＋2＝n－1.

当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.

综上所述，an＝(n∈N*)．

2．在数列{an}中，a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an(n≥1)，则an＝________.

答案　

解析　∵(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an，∴an＋1＝an，∴an＝··…···a1＝××…×××3＝.

3．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.

答案　

解析　因为(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0，

所以(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.

又因为an>0，所以an＋1＋an>0，

所以(n＋1)an＋1－nan＝0，

即＝，n∈N*.

所以＝，＝，＝，…，＝，

以上各式相乘得

＝···…·＝.

又a1＝1，所以an＝.

题型 　数列的性质及应用

1．已知an＝，那么数列{an}是(　　)

A．递减数列   B．递增数列

C．常数列   D．摆动数列

答案　A

解析　an＝＝＝1＋，

因为函数y＝1＋在(0.99，＋∞)上是减函数，

所以数列{an}是递减数列．

2．(2018·大庆模拟)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·n，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.

答案　4或5

解析　因为an＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)n

＝n＝n·.

当n<4时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝4时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>4时，an＋1－an<0，即an＋1<an.

所以该数列中最大项为第4项和第5项．

3．(2019·大兴一中模拟)数列{an}满足an＋1＝

a1＝，则数列的第2019项为________．

答案　

解析　∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝.

∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝.

∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，….

∴该数列的周期为4.∴a2019＝a3＝.

1．判断数列单调性的两种方法

(1)作差比较法：an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．

(2)作商比较法

①当an>0时，>1⇔数列{an}是单调递增数列；<1⇔数列{an}是单调递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列．

②当an<0时，>1⇔数列{an}是单调递减数列；<1⇔数列{an}是单调递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．

2．求数列最大项或最小项的方法

(1)可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项；

(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2019＝(　　)

A.  B．2  C.  D.

答案　A

解析　因为a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，

所以a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，

a6＝＝＝，a7＝＝＝2＝a1，a8＝＝＝3＝a2，

所以{an}的周期T＝6，所以a2019＝a6×336＋3＝a3＝.

2．已知数列{an}的通项为an＝，则数列{an}的最大项的值为(　　)

A.  B.  C.  不存在

答案　C

解析　an＝＝，

函数y＝x＋在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．

且7<<8.

当n＝7时，n＋＝7＋＝15，

当n＝8时，n＋＝8＋＝15<15，

所以n＋的最小值为15.

所以n＝8时，数列{an}的最大项的值为.