2020年高考数学理科一轮复习讲义：第3章三角函数、解三角形第3讲

第3讲　三角函数的图象与性质

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

1．概念辨析

(1)y＝tanx在整个定义域上是增函数．(　　)

(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．(　　)

(3)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(　　)

(4)三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)

A．4π  B．2π  C．π  D.

答案　C

解析　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.故选C.

(2)函数y＝1－2cosx的单调递减区间是________．

答案　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)

解析　y＝1－2cosx的单调递减区间就是y＝cosx的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．

(3)函数y＝3－2sin的最大值为________，此时x＝________.

答案　5　＋2kπ(k∈Z)

解析　函数y＝3－2sin的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．

(4)cos23°，sin68°，cos97°从小到大的顺序是________．

答案　cos97°<cos23°<sin68°

解析　sin68°＝sin(90°－22°)＝cos22°.

因为余弦函数y＝cosx在[0，π]上是单调递减的，

且22°<23°<97°，

所以cos97°<cos23°<cos22°.

即cos97°<cos23°<sin68°.

题型 　三角函数的定义域和值域

1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)

A．{x   B．[x

C．{x   D．{x

答案　D

解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，

解得x≠＋，k∈Z，

所以函数f(x)＝－2tan的定义域是

{x.

2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)

A．2－  B．0  C．－1  D．－1－

答案　A

解析　因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，

所以sin∈.

所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.

3．(2018·长沙质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．

答案　

解析　令t＝sinx－cosx，则t＝sin∈[－，]．

由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得

sinxcosx＝(1－t2)，

所以y＝t＋(1－t2)，t∈[－，]的值域即为所求．

因为y＝t＋(1－t2)＝－(t－1)2＋1，

当t＝－时，ymin＝－－，

当t＝1时，ymax＝1，

所以原函数的值域为.

1．三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．三角函数最值或值域的三种求法

1．函数y＝的定义域为(　　)

A.

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D．R

答案　C

解析　由cosx－≥0，得cosx≥，

∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.

2．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　因为x∈，所以x＋∈.

因为x＋∈时，f(x)的值域是，

由函数y＝sinx的图象和性质可知，≤a＋≤，

解得a∈.

3．函数y＝－cos2x＋3cosx－1的最大值为________．

答案　1

解析　由题意可得y＝－2＋，－1≤cosx≤1，所以当cosx＝1时，ymax＝1.

题型 　三角函数的单调性

1．(2018·乌鲁木齐一模)已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案　C

解析　由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，

则f＝0，所以sin＝0，

解得φ＝，故f(x)＝sin，

令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

2．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D．(0,2]

答案　A

解析　由<x<π得ω＋<ωx＋<πω＋，由题意知⊆(k∈Z)，

当k＝0时，由求得≤ω≤.

3．函数y＝|tanx|在上的单调减区间为________．

答案　和

解析　如图，观察图象可知，y＝|tanx|在上的单调减区间为和.

条件探究1　将举例说明1中的函数改为f(x)＝sin，求其单调减区间．

解　由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得

kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所给函数的单调减区间为(k∈Z)．

条件探究2　若举例说明1中函数的定义域改为[0，π]，求其单调递增区间．

解　记A＝{x，B＝[0，π]．

观察数轴可知A∩B＝∪

所以函数y＝f(x)，x∈[0，π]的单调递增区间为和.

求三角函数单调区间的两种方法

(1)复合函数法

(2)图象法

画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.

1．在下列给出的函数中，以π为周期且在上是减函数的是(　　)

A．y＝cos   B．y＝cos(－2x)

C．y＝sin   D．y＝tan

答案　B

解析　y＝cos的周期为4π，不符合要求．y＝cos(－2x)＝cos2x，令t＝2x，t＝2x在x∈上为增函数，y＝cost在t∈(0，π)上为减函数，所以y＝cos(－2x)在上为减函数，符合要求．同理可得y＝sin在上先增后减，y＝tan在上为增函数．

2．已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．

答案　c<a<b

解析　f(x)＝2sin＝2sin，

a＝f＝2sin，b＝f＝2sin，c＝f＝2sin＝2sin，因为y＝sinx在上单调递增，

且<<，所以sin<sin<sin，即c<a<b.

题型 　三角函数的周期性、奇偶性、对称性

角度1　三角函数的周期性

1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A.  B.  C．π  D．2π

答案　C

解析　由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.

角度2　三角函数的奇偶性

2．(2018·烟台检测)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.

答案　

解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.

角度3　三角函数图象的对称性

3．函数y＝2sin的图象(　　)

A．关于原点对称   B．关于点对称

C．关于y轴对称   D．关于直线x＝对称

答案　B

解析　当x＝0时，y＝2sin＝，所以A，C错误；

当x＝－时，y＝2sin＝0，所以B正确；

当x＝时，y＝2sin＝，所以D错误．

1.周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．

2．函数具有奇偶性的充要条件

函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；

函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；

函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；

函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

3．与三角函数有关的图象的对称性问题

对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.

1．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)

A．是奇函数

B．在区间上单调递减

C.为其图象的一个对称中心

D．最小正周期为π

答案　C

解析　y＝tan是非奇非偶函数，A错误；y＝tan在区间上单调递增，B错误；由2x－＝得x＝＋(k∈Z)，得函数y＝tan的对称中心为，k∈Z，故C正确；函数y＝tan的最小正周期为，D错误．

2．(2016·浙江高考)函数y＝sinx2的图象是(　　)

答案　D

解析　由y＝sinx2为偶函数，其图象关于y轴对称，可以排除A，C；当x＝时，y＝sin2＝sin≠1，排除B，故选D.

3．(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝

则f[f(15)]的值为________．

答案　

解析　因为f(x＋4)＝f(x)，函数的周期为4，所以f(15)＝f(－1)，f(－1)＝＝，

所以f[f(15)]＝f＝cos＝.

  高频考点　三角函数的图象与性质

考点分析　纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以掌握此类题型的解法，并在高考中拿全分．

 [典例1]　(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是

(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在上单调递减

答案　D

解析　因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．因为f(x)＝cos的图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．故选D.

[典例2]　(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

答案　

解析　结合余弦函数的图象得ω－＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k＋，k∈Z.又∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值，最小值为.

方法指导　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质

(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．(原理：诱导公式、y＝Asinωx为奇函数、y＝Acosωx＋b为偶函数)

(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝.

(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递减区间．(原理：复合函数同增异减)

(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x.利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求得其对称轴．(原理：对称中心、对称轴处函数值的特点)

注意：明确推导以上结论的原理，可以类似推出y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质.