2020年高考数学理科一轮复习讲义：第3章三角函数、解三角形第2讲

第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tanα.

2.三角函数的诱导公式

1.概念辨析

(1)对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.(　　)

(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　)

(3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(　　)

(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2.小题热身

(1)若sinα＝，<α<π，则tanα＝________.

答案　－

解析　因为sinα＝，<α<π，

所以cosα＝－＝－＝－，

所以tanα＝＝－.

(2)化简：＝________.

答案　－cosα

解析　原式＝＝－cosα.

(3)sin2490°＝________；cos＝________.

答案　－　－

解析　sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－.

cos＝cos＝cos

＝－cos＝－.

(4)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.

答案　－

解析　因为sin＝cosα＝，α∈，所以sinα＝＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－.

题型 　同角三角函数关系式的应用

1.已知cosα＝，－<α<0，则＝(　　)

A.2  B．－2  C．－  D.

答案　C

解析　因为cosα＝，－<α<0，

所以sinα＝－＝－，

所以＝＝＝－.

2.已知tanx＝3，则＝________.

答案　2

解析　因为tanx＝3，

所以＝＝＝2.

3.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.

答案　44.5

解析　因为sin(90°－α)＝cosα，所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1，

设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，

则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°，

两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5.

同角三角函数关系式的应用方法

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．

(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.

1.已知△ABC中，＝－，则cosA等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　D

解析　因为A是三角形内角，且＝－<0，

所以cosA<0且5cosA＝－12sinA，

则25cos2A＝144sin2A＝144(1－cos2A)

解得cos2A＝，所以cosA＝－.

2.若α是第二象限角，则tanα化简的结果是(　　)

A.－1   B．1

C.－tan2α   D．tan2α

答案　A

解析　因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，

所以tanα＝·＝－·＝－1.

3.(2018·绵阳诊断)已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为(　　)

A.－   B.

C.－或0   D.或0

答案　D

解析　因为2sinα＝1＋cosα，所以4sin2α＝1＋2cosα＋cos2α，又因为sin2α＝1－cos2α，所以4(1－cos2α)＝1＋2cosα＋cos2α，即5cos2α＋2cosα－3＝0，解得cosα＝－1或cosα＝.当cosα＝－1时，sinα＝0，tanα＝0，当cosα＝时，sinα＝，tanα＝.

题型 　诱导公式的应用

1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为(　　)

A.1  B．－1  C．0  D．2

答案　C

解析　原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.

2.已知f(α)＝，则f的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　∵f(α)＝＝cosα，

∴f＝cos＝cos＝cos＝.

3.已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．

答案　0

解析　因为cos＝cos

＝－cos＝－a.

sin＝sin＝cos＝a，

所以cos＋sin＝0.

条件探究1　若举例说明3的条件“cos＝a”改为“sin＝a”，求cos.

解　cos＝cos

＝－sin＝－a.

条件探究2　若举例说明3的条件“cos＝a”改为“cos(α－17°)＝a”，求sin(α－107°)．

解　sin(α－107°)＝sin(α－17°－90°)

＝－cos(α－17°)＝－a.

(1)诱导公式的两个应用方向与原则

①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．

②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．

(2)应用诱导公式的基本流程

(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．

(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明3中－θ＋＋θ＝π，－＝.

1.(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sin＝(　　)

A.－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　因为角α的终边经过点P(3,4)．

所以cosα＝＝.

所以sin＝sin

＝sin＝－sin＝－cosα＝－.

2.(2018·石家庄模拟)已知k∈Z，化简：

＝________.

答案　－1

解析　当k为偶数时，原式＝

＝＝－1.

当k为奇数时，原式＝＝＝－1.

综上知，原式＝－1.

题型 　同角三角函数基本关系式和诱导公式的灵活应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

角度1　化简与求值

1.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝.

角度2　sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα三者之间的关系2.(2018·长沙模拟)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－，则sinx－cosx＝(　　)

A.－  B.  C.  D．－

答案　A

解析　因为sin(π＋x)－cosx＝－，所以－sinx－cosx＝－，所以sinx＋cosx＝∈(0,1)．又因为－π<x<0，所以－<x<0，所以sinx－cosx<0.sinx＋cosx＝，两边平方得1＋2sinxcosx＝，所以2sinxcosx＝－.所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.所以sinx－cosx＝－.

角度3　常值代换问题

3.(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　A

解析　当tanα＝时，原式＝cos2α＋4sinαcosα

＝＝＝＝，

故选A.

同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法

(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．

(2)和积转换法：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．

(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝….

1.化简的结果是(　　)

A.sin3－cos3  B．cos3－sin3

C.±(sin3－cos3)  D．以上都不对

答案　A

解析　因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝＝＝|sin3－cos3|.因为<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.

2.已知tan100°＝k，则sin80°的值等于(　　)

A.  B．－

C.  D．－

答案　B

解析　由已知得tan100°＝k＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k，又因为tan80°＝＝，所以＝k2，注意到k<0，可解得sin80°＝－ .

3.若sinx＝2sin，则cosxcos＝(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　B

解析　由sinx＝2sin，得sinx＝2cosx，即tanx＝2，则cosxcos＝－cosxsinx＝－＝－＝－＝－.