2020年高考数学理科一轮复习讲义：第3章三角函数、解三角形第4讲

第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：

(1)定点：如下表所示．

(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．

(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．

2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤

1．概念辨析

(1)将函数y＝3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝

3sin.(　　)

(2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)

(3)将函数y＝2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝2sin的图象．(　　)

(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，，   B．2，，

C．2，，   D．2，，－

答案　A

解析　函数y＝2sin的振幅是2，周期T＝＝π，频率f＝＝，初相是，故选A.

(2)用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.

答案　　　　　

解析　列表：

五个点依次是、、、、.

(3)将函数f(x)＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则g＝________.

答案　

解析　函数f(x)＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后得函数y＝－cos2＝－cos，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)＝－cos，所以g＝－cos＝sin＝.

(4)(2018·长春模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．

答案　f(x)＝sin

解析　由图象可知A＝，＝－＝，所以＝π，ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又f＝－，所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin.

题型 　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

答案　D

解析　由C2：y＝sin＝sin＝cos2x＋＝cos.

根据三角函数图象变换的规律，可得D正确．

2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数y＝sinωx与y＝cosωx的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝(　　)

A．π  B.  C.  D.π

答案　B

解析　当正弦值等于余弦值时，函数值为±，故等边三角形的高为，由此得到边长为2××＝，边长即为函数的周期，故＝，ω＝.

3．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上单调递增，求ω的最大值．

解　函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，所以⊆，所以

解得0<ω≤，所以ω的最大值为.

4．已知函数y＝cos.

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；

(3)说明y＝cos的图象可由y＝cosx的图象经过怎样的变换而得到．

解　(1)函数y＝cos的振幅为1，周期T＝＝π，初相是－.

(2)列表：

描点，连线．

(3)解法一：把y＝cosx的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象；

再把y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象．

解法二：将y＝cosx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos2x的图象；

再将y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象．

作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用的两种方法

(1)五点法作图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

(2)图象的变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

1.要想得到函数y＝sin2x＋1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

C.向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

D.向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

答案　B

解析　先将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin2x＋1的图象，故选B.

2.(2018·青岛模拟)将函数f(x)＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为(　　)

A.x＝－   B．x＝

C.x＝   D．x＝

答案　A

解析　当函数f(x)＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f1(x)＝2sin，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)可以表示为g(x)＝2sin＝2sin.

则函数g(x)的图象的对称轴可表示为4x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z.则g(x)的图象离原点最近的对称轴，即g(x)的图象离y轴最近的对称轴为x＝－.

题型 　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f的值为(　　)

A．2  B.  C．－  D．－

答案　D

解析　依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图象，则T＝＝4＝π，ω＝2.

又Aω＝1，因此A＝.

因为0<φ<π，<＋φ<，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，即φ＝，所以f(x)＝sin，f＝sin＝－×＝－.

2.设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，其图象上最高点M的坐标是(2，)，曲线上的点P由点M运动到相邻的最低点N时，在点Q(6,0)处越过x轴．

(1)求A，ω，φ的值；

(2)函数f(x)的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．

解　(1)由题意知A＝，T＝(6－2)×4＝16，所以ω＝＝.又因为Q(6,0)是零值点，且|φ|<π，所以×6＋φ＝π，所以φ＝，经验证，符合题意．所以A＝，ω＝，φ＝.

(2)f(x)的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．

由(1)知f(x)＝sin，当f(x)的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g(x)＝sinx，是奇函数.

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；

(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；

(3)求φ：常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象，则f(3x0)＝(　　)

A.   B．－

C.   D．－

答案　D

解析　∵f(x)＝cos(πx＋φ)的图象过点，

∴＝cosφ，结合0<φ<，可得φ＝.∴由图象可得cos＝，πx0＋＝2π－，解得x0＝.

∴f(3x0)＝f(5)＝cos＝－.

2.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f等于________．

答案　

解析　观察图象可知＝－，所以＝，ω＝2，所以f(x)＝Atan(2x＋φ)．

又因为函数图象过点，所以0＝Atan，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又因为|φ|<，所以φ＝.又图象过点(0,1)，

所以A＝1.综上知，f(x)＝tan，

故f＝tan＝.

题型 　三角函数图象性质的应用

角度1　三角函数模型的应用

1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A.5  B．6  C．8  D．10

答案　C

解析　由图象可知，ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8.

角度2　函数零点(方程根)问题

2.已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是________．

答案　[2,3)

解析　2sin＋1－a＝0化为sin＝，令t＝x＋，由x∈得，t＝x＋∈，画出函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝，当≤<1，即2≤a<3时，函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝有两个公共点，原方程有两个根.

角度3　三角函数图象性质的综合

3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图，则(　　)

A．函数f(x)的对称轴方程为x＝4kπ＋(k∈Z)

B.函数f(x)的递减区间为(k∈Z)

C.函数f(x)的递增区间为[8k＋1,8k＋5](k∈Z)

D.f(x)≥1的解集为(k∈Z)

答案　D

解析　由题图知，A＝2，函数f(x)的最小正周期T＝4×(3－1)＝8，故ω＝＝，所以f(x)＝2sin，因为点(1,2)在图象上，所以2sin＝2，因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝2sin，由x＋＝kπ＋(k∈Z)得x＝4k＋1，即函数f(x)的对称轴方程为x＝4k＋1(k∈Z)，所以A项错误；由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得8k＋1≤x≤8k＋5，即函数f(x)的单调减区间为[8k＋1,8k＋5](k∈Z)，所以B，C两项错误；由2sin≥1，得sin≥，所以2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得8k－≤x≤8k＋(k∈Z)，即不等式f(x)≥1的解集为(k∈Z)，故选D.

(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面

①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；

②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．

(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路

①把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)；

②画出一个周期上的函数图象；

③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．

(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.

1.设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)(　　)

A.在区间上是增函数

B.在区间上是减函数

C.在区间上是增函数

D.在区间上是减函数

答案　A

解析　函数f(x)＝(x∈R)的图象如图所示，由图象可知函数f(x)＝(x∈R)在区间上是增函数．故选A.

2.一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　)

A．h(t)＝－8sint＋10

B.h(t)＝－cost＋10

C.h(t)＝－8sint＋8

D.h(t)＝－8cost＋10

答案　D

解析　设h(t)＝Acosωt＋B，因为12 min旋转一周，

所以＝12，所以ω＝，

由于最大值与最小值分别为18,2.

所以解得A＝－8，B＝10.

所以h(t)＝－8cost＋10.

3.若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为(　　)

A.  B．π  C.  D．2π

答案　B

解析　依题意，函数f(x)图象的一条对称轴为x＝＝，又因为函数f(x)在上有且只有一个零点，所以－0≤≤－，所以≤T≤.根据选项可得，f(x)的最小正周期为π.