2020年高考数学理科一轮复习讲义：第3章三角函数、解三角形第1讲

第三章　三角函数、解三角形

第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.任意角的概念

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的分类

 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

(2)公式

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．

1．概念辨析

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)

(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)

(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)

(4)借助三角函数线可知，若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A.2kπ＋45°(k∈Z)   B．k·360°＋(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)   D．kπ＋(k∈Z)

答案　C

解析　角度制与弧度制不能混用，排除A，B；因为＝2π＋，所以与终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C.

(2)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　D

解析　因为sinθ<0，所以θ的终边位于x轴的下方，因为tanθ<0，所以θ的终边在第二、四象限，所以角θ的终边一定落在第四象限．

(3)已知扇形的圆心角为120°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．

答案　3π

解析　设此扇形的半径为r，由题意得r＝2π，所以r＝3，所以此扇形的面积为×2π×3＝3π.

(4)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________.

答案　

解析　因为r＝|OP|＝＝5，所以cosθ＝，sinθ＝－，所以2cosθ－sinθ＝2×－＝.

题型 　象限角与终边相同的角

1．(2018·长春一模)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)

A．{α   B．{α

C．{α   D．{α

答案　D

解析　因为直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为{α，故选D.

2．与2019°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．

答案　219°

解析　因为2019°＝5×360°＋219°，所以与2019°终边相同的角可表示为k·360°＋219°(k∈Z)．其中在0°～360°内的角是219°.

3．若角α是第二象限角，则是第________象限角．

答案　一或三

解析　因为角α是第二象限角，

所以2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，

所以kπ＋<<kπ＋，k∈Z.

所以是第一或第三象限角．

1．象限角的两种判断方法

(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

2．表示区间角的三个步骤

(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．

(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．

(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．如举例说明3中角α的表示方法.

1.已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．

答案　一

解析　α的终边与－α的终边关于x轴对称，－α的终边逆时针旋转180°得180°－α的终边，所以由α是第二象限角可知，180°－α是第一象限角.

2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．

答案　－675°或－315°

解析　与45°终边相同的角可表示为α＝k·360°＋45°(k∈Z)，当k＝－1时，α＝－360°＋45°＝－315°；当k＝－2时，α＝－720°＋45°＝－675°，所以在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为－675°或－315°.

3.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．

答案　{α

解析　在[0,2π)内，终边落在阴影部分的角的集合为，所以所求角的集合为{α.

题型 　弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用

1.已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　　)

A.2  B．1  C.  D．3

答案　A

解析　解法一：设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，

这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2.

解法二：设扇形圆心角的弧度数为α，

弧长为l，则l＋＝4.

故l＝.

又S＝lr＝＝2＝≤＝1.

当且仅当α＝，即α＝2时，S取最大值.

2.(2018·成都模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是________．

答案　

解析　如图所示，设半径为R，

则＝sin1，所以R＝，

弧长l＝αR＝2R＝.

条件探究1　若举例说明1改为扇形的圆心角为6，面积为，求扇形的弧长．

解　设扇形的半径为r，弧长为l，

则解得

条件探究2　若举例说明1条件改为扇形的面积是4 cm2，当扇形周长最小时，求扇形的圆心角的弧度数．

解　设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

则扇形的面积S＝lr＝αr·r＝αr2＝4，

所以αr＝，设扇形的周长为L，

则L＝2r＋αr＝2r＋，r∈(0，＋∞)，

由L′＝2－＝＝＝0，得r＝2，

当r∈(0,2)时，L′<0，L＝2r＋单调递减，

当r∈(2，＋∞)时，L′>0，L＝2r＋单调递增，

所以当r＝2时，扇形的周长L取得最小值，

此时扇形的圆心角α＝＝＝2.

应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

1.扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________ cm2.

答案　

解析　由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝，

∴S扇形＝lr＝×20×＝.

2.如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．

答案　3

解析　设这个扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，变化后半径为r′，弧长为l′，圆心角为α′，则α′＝＝＝3α，所以该弧所对的圆心角是原来的3倍.

题型 　任意角三角函数的定义及应用

角度1　利用三角函数的定义求值

1.(2018·济南二模)已知角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0，则sinα＋cosα等于(　　)

A.－  B．±  C．－  D．±

答案　B

解析　∵角α的终边经过点(m，－2m)，其中m≠0，则当m>0时，x＝m，y＝－2m，r＝|m|＝m，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，sinα＋cosα＝－.当m<0时，x＝m，y＝－2m，r＝|m|＝－m，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，sinα＋cosα＝.综上可得，sinα＋cosα＝±.

角度2　三角函数值符号的判定

2.(2018·怀化模拟)sin2·cos3·tan4的值(　　)

A.小于0   B．大于0

C.等于0   D．不存在

答案　A

解析　因为<2<3<π<4<，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2·cos3·tan4<0.

角度3　三角函数线的应用

3.函数y＝的定义域为________．

答案　{x

解析　∵2sinx－1≥0，∴sinx≥.由三角函数线画出x满足

条件的终边范围(如图阴影所示)．

∴x∈{x.

1.用定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．

2．三角函数值符号的记忆口诀

一全正、二正弦，三正切、四余弦．

3．三角函数线的两个主要应用

(1)三角式比较大小；

(2)解三角不等式(方程).

1.若sinθ·cosθ<0，>0，则角θ是(　　)

A.第一象限角   B．第二象限角

C.第三象限角   D．第四象限角

答案　D

解析　由>0，得>0，cosθ>0，又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ为第四象限角，选D.

2.满足cosα≤－的角α的集合为________．

答案　{α

解析　由三角函数线画出满足条件的x的终边范围(如图阴影所示)．所以α∈{α.

3.已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则x＝________.

答案　

解析　r＝|OP|＝＝，因为cosα＝－，所以＝－，显然x＞0，解得x＝.