2020年高考数学理科一轮复习讲义：第3章三角函数、解三角形第3讲

第3讲　三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．概念辨析(1)y＝tanx在整个定义域上是增函数．(　　)(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．(　　)(3)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(　　)(4)三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)A．4π  B．2π  C．π  D.答案　C解析　函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.故选C.(2)函数y＝1－2cosx的单调递减区间是________．答案　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)解析　y＝1－2cosx的单调递减区间就是y＝cosx的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．(3)函数y＝3－2sin的最大值为________，此时x＝________.答案　5　＋2kπ(k∈Z)解析　函数y＝3－2sin的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．(4)cos23°，sin68°，cos97°从小到大的顺序是________．答案　cos97°<cos23°<sin68°解析　sin68°＝sin(90°－22°)＝cos22°.因为余弦函数y＝cosx在[0，π]上是单调递减的，且22°<23°<97°，所以cos97°<cos23°<cos22°.即cos97°<cos23°<sin68°.题型 　三角函数的定义域和值域1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)A．{x   B．[xC．{x   D．{x答案　D解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以函数f(x)＝－2tan的定义域是{x.2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)A．2－  B．0  C．－1  D．－1－答案　A解析　因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，所以sin∈.所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.3．(2018·长沙质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．答案　解析　令t＝sinx－cosx，则t＝sin∈[－，]．由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得sinxcosx＝(1－t2)，所以y＝t＋(1－t2)，t∈[－，]的值域即为所求．因为y＝t＋(1－t2)＝－(t－1)2＋1，当t＝－时，ymin＝－－，当t＝1时，ymax＝1，所以原函数的值域为.1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数最值或值域的三种求法1．函数y＝的定义域为(　　)A.B.(k∈Z)C.(k∈Z)D．R答案　C解析　由cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.2．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．答案　解析　因为x∈，所以x＋∈.因为x＋∈时，f(x)的值域是，由函数y＝sinx的图象和性质可知，≤a＋≤，解得a∈.3．函数y＝－cos2x＋3cosx－1的最大值为________．答案　1解析　由题意可得y＝－2＋，－1≤cosx≤1，所以当cosx＝1时，ymax＝1.题型 　三角函数的单调性1．(2018·乌鲁木齐一模)已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案　C解析　由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则f＝0，所以sin＝0，解得φ＝，故f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．2．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)A.   B.C.   D．(0,2]答案　A解析　由<x<π得ω＋<ωx＋<πω＋，由题意知⊆(k∈Z)，当k＝0时，由求得≤ω≤.3．函数y＝|tanx|在上的单调减区间为________．答案　和解析　如图，观察图象可知，y＝|tanx|在上的单调减区间为和.条件探究1　将举例说明1中的函数改为f(x)＝sin，求其单调减区间．解　由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的单调减区间为(k∈Z)．条件探究2　若举例说明1中函数的定义域改为[0，π]，求其单调递增区间．解　记A＝{x，B＝[0，π]．观察数轴可知A∩B＝∪所以函数y＝f(x)，x∈[0，π]的单调递增区间为和.  求三角函数单调区间的两种方法(1)复合函数法(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.1．在下列给出的函数中，以π为周期且在上是减函数的是(　　)A．y＝cos   B．y＝cos(－2x)C．y＝sin   D．y＝tan答案　B解析　y＝cos的周期为4π，不符合要求．y＝cos(－2x)＝cos2x，令t＝2x，t＝2x在x∈上为增函数，y＝cost在t∈(0，π)上为减函数，所以y＝cos(－2x)在上为减函数，符合要求．同理可得y＝sin在上先增后减，y＝tan在上为增函数．2．已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________．答案　c<a<b解析　f(x)＝2sin＝2sin，a＝f＝2sin，b＝f＝2sin，c＝f＝2sin＝2sin，因为y＝sinx在上单调递增，且<<，所以sin<sin<sin，即c<a<b.题型 　三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1　三角函数的周期性1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)A.  B.  C．π  D．2π答案　C解析　由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.角度2　三角函数的奇偶性2．(2018·烟台检测)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.答案　解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.角度3　三角函数图象的对称性3．函数y＝2sin的图象(　　)A．关于原点对称   B．关于点对称C．关于y轴对称   D．关于直线x＝对称答案　B解析　当x＝0时，y＝2sin＝，所以A，C错误；当x＝－时，y＝2sin＝0，所以B正确；当x＝时，y＝2sin＝，所以D错误． 1.周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．2．函数具有奇偶性的充要条件函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．3．与三角函数有关的图象的对称性问题对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.    1．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)A．是奇函数B．在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D．最小正周期为π答案　C解析　y＝tan是非奇非偶函数，A错误；y＝tan在区间上单调递增，B错误；由2x－＝得x＝＋(k∈Z)，得函数y＝tan的对称中心为，k∈Z，故C正确；函数y＝tan的最小正周期为，D错误．2．(2016·浙江高考)函数y＝sinx2的图象是(　　)答案　D解析　由y＝sinx2为偶函数，其图象关于y轴对称，可以排除A，C；当x＝时，y＝sin2＝sin≠1，排除B，故选D.3．(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f[f(15)]的值为________．答案　解析　因为f(x＋4)＝f(x)，函数的周期为4，所以f(15)＝f(－1)，f(－1)＝＝，所以f[f(15)]＝f＝cos＝.  高频考点　三角函数的图象与性质考点分析　纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以掌握此类题型的解法，并在高考中拿全分． [典例1]　(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在上单调递减答案　D解析　因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．因为f(x)＝cos的图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．故选D.[典例2]　(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．答案　解析　结合余弦函数的图象得ω－＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k＋，k∈Z.又∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值，最小值为.方法指导　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．(原理：诱导公式、y＝Asinωx为奇函数、y＝Acosωx＋b为偶函数)(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝.(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递减区间．(原理：复合函数同增异减)(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x.利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求得其对称轴．(原理：对称中心、对称轴处函数值的特点)注意：明确推导以上结论的原理，可以类似推出y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质.