2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第十节对数函数

第十节对数函数

一、基础知识批注——理解深一点

1．对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，      ＋∞).

2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质

3．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

二、常用结论汇总——规律多一点

对数函数图象的特点

(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．

(2)函数y＝logax与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．

(3)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势．

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)

(2)当x＞1时，logax＞0.(　　)

(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)

(4)若logam<logan，则m<n.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

(二)选一选

1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

解析：选B　函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.

2．函数y＝lg|x|(　　)

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

解析：选B　y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

3．设a＝log23，b＝log3，c＝3－2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c　　　　　　 　B．b＞a＞c

C．a＞c＞b   D．c＞b＞a

解析：选C　因为a＝log23＞1，b＝log3＜0，c＝3－2＝＞0，但c＜1，所以b＜c＜a.

(三)填一填

4．函数y＝的定义域为________．

解析：要使函数有意义，须满足

解得<x≤1.

答案：

5．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．

解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．

答案：(2,2)

[典例]　(1)函数y＝lg|x－1|的图象是(　　)

(2)已知当0<x≤时，有<logax，则实数a的取值范围为________．

[解析]　(1)因为y＝lg|x－1|＝

当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.

又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．

(2)若<logax在x∈时成立，则0<a<1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，作出图象如图所示．

由图象知 <loga，

所以解得<a<1.

即实数a的取值范围是.

[答案]　(1)A　(2)

[变透练清]

1.若本例(1)函数变为f(x)＝2log4(1－x)，则函数f(x)的大致图象是(　　)

解析：选C　函数f(x)＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；函数f(x)＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.故选C.

2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1.

答案：(1，＋∞)

3.若本例(2)变为不等式x2<logax(a>0，且a≠1)对x∈恒成立，求实数a的取值范围．

解：设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)

＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；

当0<a<1时，如图所示，

要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，

所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a<1.

即实数a的取值范围是.

[解题技法]

利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

[口诀归纳]

指对函数反函数，图象夹着对称轴；

图象均有渐进线，牢记轴上特殊点．

考法(一)　比较对数值的大小

[典例]　(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c　　　　　 　B．b＞a＞c

C．c＞b＞a   D．c＞a＞b

[解析]　因为c＝log＝log23>log2e＝a，

所以c＞a.

因为b＝ln 2＝＜1＜log2e＝a，所以a＞b.

所以c＞a＞b.

[答案]　D

[解题技法]

比较对数值大小的常见类型及解题方法

考法(二)　解简单对数不等式

[典例]　已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是________．

[解析]　原不等式⇔①或②，解不等式组①得<x<，不等式组②无解，所以实数x的取值范围是.

[答案]　

[解题技法]　求解对数不等式的两种类型及方法

[提醒]　注意对数式的真数大于零，且不等于1.

考法(三)　对数型函数性质的综合问题

[典例]　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)，若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．

[解]　因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，

因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，

函数f(x)的定义域为(－1,3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3，

则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．

又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．

[解题技法]

求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤

[题组训练]

1．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c   B．a>c>b

C．c>a>b   D．c>b>a

解析：选C　0<a＝2<20＝1，b＝log2<log21＝0，c＝log＝log23>1，∴c>a>b.

2．若定义在区间(－1,0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D．(0，＋∞)

解析：选A　∵－1<x<0，∴0<x＋1<1.又∵f(x)>0，∴0<2a<1，∴0<a<.

3．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．

解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，即解得a>.

答案：

A级——保大分专练

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．[1,2]　　　　　　　　 　B．[1,2)

C.   D.

解析：选C　由

即解得x≥.

2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)

A．log2x   B.

C．logx   D．2x－2

解析：选A　由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．

∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.

3．如果logx<logy<0，那么(　　)

A．y<x<1   B．x<y<1

C．1<x<y   D．1<y<x

解析：选D　∵logx<logy<log1，∴x>y>1.

4．(2019·海南三市联考)函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>0，且a≠1)的大致图象是(　　)

解析：选C　函数f(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f(x)≥0，结合对数函数的图象可知选C.

5．(2018·惠州调研)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b>c>a   B．b>a>c

C．c>a>b   D．a>b>c

解析：选D　依题意，得a>1,0<b＝logπ3<logππ＝1，而由0<sin<1,2>1，得c<0，故a>b>c.

6．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)

A．f(a＋1)>f(2)   B．f(a＋1)<f(2)

C．f(a＋1)＝f(2)   D．不能确定

解析：选A　由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．

7．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.

解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝x.

答案：x

8．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则logba＝________.

解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．

则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，

且f(0)＝loga(0＋b)＝1，

所以即所以logba＝1.

答案：1

9．(2019·武汉调研)函数f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间是________．

解析：由函数f(x)＝loga(x2－4x－5)，得x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.令m(x)＝x2－4x－5，则m(x)＝(x－2)2－9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由a>1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)．

答案：(5，＋∞)

10．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．

解析：由f(a)＞f(－a)得或

即或

解得a＞1或－1＜a＜0.

答案：(－1,0)∪(1，＋∞)

11．求函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值．

解：显然x>0，∴f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－≥－，当且仅当x＝时，有f(x)min＝－.

12．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，∴a＝2.

由得－1＜x＜3，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

B级——创高分自选

1．已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)满足f>f，则f>0的解集为(　　)

A．(0,1)   B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)   D．(0，＋∞)

解析：选C　因为函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f>f，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递减，即0<a<1，结合对数函数的图象与性质可由f>0，得0<1－<1，所以x>1，故选C.

2．若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．

解析：令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，

又M＝2－，

因此M的单调递增区间为.

又x2＋x>0，所以x>0或x<－，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．

因为函数f(x)是偶函数，

所以f(x)＝f(－x)＝log(－x)，

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，

即不等式的解集为(－，)．