2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第一章第一节集合

第一节集__合

一、基础知识批注——理解深一点

1．集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．

元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．

(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．

(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.

(4)五个特定的集合及其关系图：

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

2．集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．

(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.

AB⇔既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.

(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.

两集合相等：A＝B⇔A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　

(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.

0，{0}，∅，{∅}之间的关系：∅≠{∅}，

∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．

3．集合间的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.

二、常用结论汇总——规律多一点

(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.

(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.

(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.

(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．

(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　　)

(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)

(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)

(4)任何一个集合都至少有两个子集．(　　)

(5)若AB，则A⊆B且A≠B.(　　)

(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　)

(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√　(7)×

(二)选一选

1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　)

A．[0,3]　　　　　　　 　B．[1,2]

C．[0,3)   D．[1,3]

解析：选C　因为A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以A∪B＝{x∈R|0≤x<3}.

2．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)

A．{a}⊆A   B．a⊆A

C．{a}∈A   D．a∉A

解析：选D　因为2不是自然数，所以a∉A.

3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A．9   B．8

C．5   D．4

解析：选A　法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.

法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

(三)填一填

4．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝________.

解析：由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．

答案：{x|－2<x<－1}

5．已知集合U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________.

解析：∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0,1}，∴∁UA＝{－1}．

答案：{－1}

[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)

A．3　　　　　　　　　 　B．2

C．1   D．0

(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019的值为(　　)

A．1   B．0

C．－1   D．±1

[解析]　(1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.

(2)由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.

[答案]　(1)B　(2)C

[解题技法]　与集合中的元素有关的解题策略

(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．

(2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

[提醒]　集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．

[题组训练]

1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选A　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.

2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　)

A.   B.

C．0   D．0或

解析：选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝，符合题意．

当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，

所以a的值为0或.

3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为            .

解析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5<k≤6.

答案：（5，6］

[典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则(　　)

A．B⊆A　　　　　　　　 　B．A＝B

C．AB   D．BA

(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为(　　)

A．2   B．3

C．4   D．8

(3)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．

[解析]　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.

(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又B⊆A，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4，故选C.

(3)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>0时，因为A＝{x|－1<x<3}．

若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，

所以所以0<m≤1.

综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．

[答案]　(1)C　(2)C　(3)(－∞，1]

[变透练清]

1.若本例(2)中A不变，C＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆B⊆C的集合B的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 　B．2

C．3   D．4

解析：选D　因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

2.若本例(3)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．

解析：若A⊆B，由得m≥3，

∴m的取值范围为[3，＋∞)．

答案：[3，＋∞)

3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2；

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－，此时B＝，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．

答案：[－2,2)

[解题技法]

判定集合间基本关系的两种方法和一个关键

考法(一)　集合的运算

[典例]　(1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝(　　)

A．{－1,1}　　　　　　　 　B．{0,1}

C．{－1,0,1}   D．{2,3,4}

(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x<4} 

B．{x|x≤2或x≥4}

C．{x|－2≤x≤－1} 

D．{x|－1≤x≤2}

[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，

∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．

又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，

∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．

(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，

因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．

[答案]　(1)C　(2)D

[解题技法]　集合基本运算的方法技巧

(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．

(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．

(3)集合的交、并、补运算口诀如下：

交集元素仔细找，属于A且属于B；

并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；

全集U是大范围，去掉U中a元素，剩余元素成补集．

考法(二)　根据集合运算结果求参数

[典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－4,3)   B．[－3,4]

C．(－3,4)   D．(－∞，4]

(2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝(　　)

A．3   B．2

C．2或3   D．3或1

[解析]　(1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.

(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.

[答案]　(1)B　(2)A

[解题技法]

根据集合的运算结果求参数值或范围的方法

(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．

(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．

[题组训练]

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)

A．{1}   B．{1,2}

C．{0,1,2,3}   D．{－1,0,1,2,3}

解析：选C　因为集合B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，而A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．

2．(2019·重庆六校联考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lg x<2}，则(∁RA)∩B＝(　　)

A.   B.

C.   D．∅

解析：选A　由题意得A＝，B＝(0,100)，则∁RA＝(－∞，－1)∪，所以(∁RA)∩B＝.

3．(2019·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)   B.

C.   D．(1，＋∞)

解析：选A　因为A∩B≠∅，

所以解得a≥1.

1．(2019·福州质量检测)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1<x≤4}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　  　B．2

C．3   D．4

解析：选B　依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的个数为2.

2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝(　　)

A．{2,6}   B．{3,6}

C．{1,3,4,5}   D．{1,2,4,6}

解析：选A　因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．

3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝(　　)

A．{x|0＜x≤1}   B．{x|0＜x＜1}

C．{x|1≤x＜2}   D．{x|0＜x＜2}

解析：选B　∵全集为R，B＝{x|x≥1}，

∴∁RB＝{x|x＜1}．

∵集合A＝{x|0＜x＜2}，

∴A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}．

4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是(　　)

A．M∩N＝M   B．M∪(∁RN)＝M

C．N∪(∁RM)＝R   D．M∪N＝M

解析：选D　由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.

5．设集合A＝，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B为(　　)

A.   B．[－1,0)

C.   D．[－1,1]

解析：选A　∵≤2x<，即2－1≤2x<2，∴－1≤x<，∴A＝.∵ln x≤0，即ln x≤ln 1，∴0<x≤1，∴B＝{x|0<x≤1}，∴A∩B＝.

6．(2019·郑州质量测试)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]   B．(－∞，1]

C．[1，＋∞)   D．[2，＋∞)

解析：选D　由A∩B＝A，可得A⊆B，又因为A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.

7．已知全集U＝A∪B中有m个元素，∪中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(　　)

A．mn   B．m＋n

C．n－m   D．m－n

解析：选D　因为∪中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．

8．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)

A．6   B．7

C．8   D．9

解析：选B　由题意知，B＝{0,1,2}，＝，则∪B＝，共有7个元素．

9．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.

解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．

答案：{－1,0}

10．已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为

________．

解析：∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，∴∁UB＝{x|x≤1或x≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁UB)∩A＝{x|－5≤x≤1}．

答案：{x|－5≤x≤1}

11．若集合A＝{(x，y)|y＝3x2－3x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则集合A∩B中的元素个数为________．

解析：法一：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．

联立得方程组解得或

故A∩B＝，所以A∩B中含有2个元素．

法二：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．因为3x2－3x＋1＝x即3x2－4x＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A∩B中含有2个元素．

答案：2

12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．

解析：由log2x≤2，得0＜x≤4，

即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，

由于A⊆B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a＞4.

答案：(4，＋∞)

13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．

(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)；

(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．

解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁UB)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．

(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，

易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.

故实数a的取值范围是(2,3)．