数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试测试题

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《集合与常用逻辑用语》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 集合{(x,y)|y=2x-1}表示( )


A.方程y=2x－1


B.点(x，y)


C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合


D.函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合





LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列四个命题：


（1）空集没有了集；


（2）空集是任何一个集合的真子集；


（3）空集的元素个数为零；


（4）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确的有（）


A.0 个B.1个 C.2个 D.3个





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知集合X={x｜x=2m，m∈Z}，Y={y｜y=4n±2，n∈Z}，则X与Y的关系是（ ）


A.XY B.XY C.X=Y D.XY





LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列各式中，正确的个数是（ ）


①={0}；②{0}；③∈{0}；④0={0}；⑤0∈{0}； ⑥{1}∈{1，2，3}；


⑦{1，2}{1，2，3}；⑧{a，b}{a，b}.


A.1 B.2 C.3 D.4





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )


①M中的元素都不是P的元素；


②M中有不属于P的元素；


③M中有属于P的元素；


④M中的元素不都是P的元素.


A.1 B.2 C.3 D.4








LISTNUM OutlineDefault \l 3 给出命题“方程x2＋ax＋1=0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )


A.4 B.2 C.0 D.－3








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分又不必要条件











LISTNUM OutlineDefault \l 3 设x∈R，则“1

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件


C.充要条件 D.既不充分又不必要条件





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知集合A={1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3，x∈Z}，则A∪B等于( )


A.{1} B.{1，2} C.{0，1，2，3} D.{1，2，3}





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知集合M={x|-3＜x＜1，x∈R}，N={-3，-2，-1，0，1}，则M∩N=_____


A.{-2，-1，0，1} B.{-3，-2，-1，0} C.{-2，-1，0} D.{-3，-2，-1}





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设全集U=R，集合A={x|x≤1，或x≥3}，集合B={x|k

A.k<0或k>3 B.2




LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)=R，则实数a的取值范围是( )


A.a≤2 B.a＜1 C.a≥2 D.a＞2





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 对任意实数a，b，c，给出下列命题：


①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；


②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；


③“a<5”是“a<3”的必要条件；


④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件.


其中真命题的序号为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知集合A={(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B={(x，y)|x＋y－1=0，x，y∈Z}，则A∩B=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.












































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知集合A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，2))))))，B={x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
























































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|－2

求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB).






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知集合A={x|2≤x<7}，B={x|3

(1)求A∪B，(∁RA)∩B；


(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设全集I=R，已知集合M={x|(x＋3)2≤0}，N={x|x2＋x－6=0}.


(1)求(∁IM)∩N；


(2)记集合A=(∁IM)∩N，已知集合B={x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A=A，求实数a的取值范围.





















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设全集U=R，集合A={x|x≤－2或x≥5}，B={x|x≤2}.求


(1)∁U(A∪B)；


(2)记∁U(A∪B)=D，C={x|2a－3≤x≤－a}，且C∩D=C，求a的取值范围.



































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 D.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 2.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B


解析：X={…，-6，-4，-2，0，2，4，6，…}，Y={…，-6，-2，2，6，…}.显然XY.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：①③错误；②④正确.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：方程无实根时，应满足Δ=a2－4<0.故a=0时适合条件.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：“a＋b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立.


∴“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件.故选A.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：∵“1

∴“1

LISTNUM OutlineDefault \l 3 C;


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：[－3,0]；


解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立.当a=0时，－3≤0恒成立；


当a≠0时，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0.


综上，－3≤a≤0.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：③④


解析：①“a=b”是ac=bc的充分不必要条件，故①错，


②a>b是a2>b2的既不充分也不必要条件，故②错.③④正确.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：(-∞，-1]





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：12;


解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程





15－x＋x＋10－x＋8=30⇒x=3，


所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3=12(人).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)


∵ac<0，


∴一元二次方程ax2＋bx＋c=0的判别式


Δ=b2－4ac>0.


∴方程一定有两不等实根.


设为x1，x2，则x1x2=eq \f(c,a)<0，


∴方程的两根异号.


即方程ax2＋bx＋c=0有一正根和一负根.


必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)


∵方程ax2＋bx＋c=0有一正根和一负根，


设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2=eq \f(c,a)<0，即ac<0.


综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：y=x2－eq \f(3,2)x＋1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋eq \f(7,16)，


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，2))，∴eq \f(7,16)≤y≤2，∴A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(7,16)≤y≤2)))).


由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B={x|x≥1－m2}．


∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，


∴A⊆B，∴1－m2≤eq \f(7,16)，解得m≥eq \f(3,4)或m≤－eq \f(3,4)，


故实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出∁UA及∁UB，再求解.





则∁UA={x|x≤－2，或3≤x≤4}，


∁UB={x|x<－3，或2

所以A∩B={x|－2

(∁UA)∪B={x|x≤2，或3≤x≤4}；


A∩(∁UB)={x|2




LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)因为A={x|2≤x<7}，B={x|3

所以A∪B={x|2≤x<10}.


因为A={x|2≤x<7}，所以∁RA={x|x<2，或x≥7}，


则(∁RA)∩B={x|7≤x<10}.


(2)因为A={x|2≤x<7}，C={x|x

且A∩C≠∅，


所以a>2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵M={x|(x＋3)2≤0}={－3}，


N={x|x2＋x－6=0}={－3,2}.


∴∁IM={x|x∈R且x≠－3}.


∴(∁IM)∩N={2}.


(2)A=(∁IM)∩N={2}，


∵B∪A=A，∴B⊆A.


∴B=∅或B={2}.


当B=∅时，a－1>5－a，∴a>3；


当B={2}时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝2，,5－a＝2，))解得a=3.


综上所述，所求a的取值范围是{a|a≥3}.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)由题意知，A={x|x≤－2或x≥5}，B={x|x≤2}，则A∪B={x|x≤2或x≥5}，


又全集U=R，∁U(A∪B)={x|2＜x＜5}.


(2)由(1)得D={x|2＜x＜5}，由C∩D=C得C⊆D，


①当C=∅时，有－a＜2a－3，解得a＞1；


②当C≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－3≤－a,2a－3>2,－a<5，))解得a∈∅.


综上，a的取值范围为(1，＋∞).