【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 不等式选讲 大题（含答案解析）

【高考复习】2020年高考数学(理数) 不等式选讲 大题

1.已知f(x)=|2x-1|＋|ax-5|(0<a<5)．

(1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；

(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a的值．

2.设函数f(x)=|x-1|.

(1)求不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集；

(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)-|x-a|的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围．

3.已知函数f(x)=|2x-1|＋|x＋1|.

(1)解不等式f(x)≤3；

(2)记函数g(x)=f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥＋3t.

4.设函数f(x)=|x-a|＋(a≠0，a∈R)．

(1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；

(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．

5.已知函数f(x)=|x-m|，m<0.

(1)当m=-1时，求解不等式f(x)＋f(-x)≥2-x；

(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．

6.设函数f(x)=|2x＋1|＋|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．

7.设f(x)=|x|＋2|x-a|(a>0)．

(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；

(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．

8.已知定义在R上的函数f(x)=|x-m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．

(1)求实数m的值；

(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：＋≥3.

9.已知函数f(x)=|2x＋1|，g(x)=|x|＋a．

(1)当a=0时，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．

10.已知函数f(x)=|x＋1|．

(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0-2)-f(x0-3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；

(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a-1)(b-1)(c-1)=t，求证：abc≥8．

答案解析

1.解：

(1)当a=1时，f(x)=|2x-1|＋|x-5|=

∴f(x)≥9⇔或或

解得x≤-1或x≥5，

即所求不等式的解集为(-∞，-1]∪[5，＋∞)．

(2)∵0<a<5，∴>1，

则f(x)=

∵当x<时，f(x)单调递减，当x>时，f(x)单调递增，

∴f(x)的最小值在上取得，

∵在上，当0<a≤2时，f(x)单调递增，当2<a≤5时，f(x)单调递减，

∴或

解得a=2.

2.解：

(1)因为f(x)≤3-f(x-1)，所以|x-1|≤3-|x-2|，

即|x-1|＋|x-2|≤3，

则或或

解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3，

故不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集为[0,3]．

(2) 因为⊆M，

所以当x∈时，f(x)≤f(x＋1)-|x-a|恒成立，

而f(x)≤f(x＋1)-|x-a|⇔|x-1|-|x|＋|x-a|≤0⇔|x-a|≤|x|-|x-1|，

因为x∈，所以|x-a|≤1，即x-1≤a≤x＋1，

由题意，知x-1≤a≤x＋1对于x∈恒成立，所以≤a≤2，

故实数a的取值范围为.

3.解：

(1)依题意，得f(x)=于是f(x)≤3⇔

或或解得-1≤x≤1.

故不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤1}．

(2)证明：g(x)=f(x)＋|x＋1|=|2x-1|＋|2x＋2|≥|2x-1-2x-2|=3，

当且仅当(2x-1)(2x＋2)≤0时取等号，∴M=[3，＋∞)．

t2＋1≥＋3t等价于t2-3t＋1-≥0，

t2-3t＋1-==.

∵t∈M，∴t-3≥0，t2＋1>0，

∴≥0，

∴t2＋1≥＋3t.

4.解：

(1)当a=1时，f(x)=|x-1|＋|x＋2|，

故f(x)=

①当x>1时，由2x＋1≤5，得x≤2，故1<x≤2；

②当-2≤x≤1时，由3≤5，得x∈R，故-2≤x≤1；

③当x<-2时，由-2x-1≤5，得x≥-3，故-3≤x<-2.

综上，不等式的解集为[-3,2]．

(2)f(x)=|x-a|＋≥=

，所以g(a)=，

因为=|a|＋≥2=2，

当且仅当|a|=，即a=±时等号成立，

所以g(a)min=2.

5.解：

(1)设F(x)=f(x)＋f(-x)=|x-1|＋|x＋1|

=

由F(x)≥G(x)解得{x|x≤-2或x≥0}．

(2)f(x)＋f(2x)=|x-m|＋|2x-m|，m<0.

设g(x)=f(x)＋f(2x)，

当x≤m时，g(x)=m-x＋m-2x=2m-3x，则g(x)≥-m；

当m<x<时，g(x)=x-m＋m-2x=-x，则-<g(x)<-m；

当x≥时，g(x)=x-m＋2x-m=3x-2m，则g(x)≥-.

则g(x)的值域为，

不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>-，解得m>-2，

由于m<0，则m的取值范围是(-2,0)．

6.解：

(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，

且各部分所在直线斜率的最大值为3，

故当且仅当a≥3且b≥2时，

f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，

因此a＋b的最小值为5.

7.解：

(1)当a=1时，f(x)=|x|＋2|x-1|=

当x<0时，由2-3x≤4，得-≤x<0；

当0≤x≤1时，由2-x≤4，得0≤x≤1；

当x>1时，由3x-2≤4，得1<x≤2.

综上，不等式f(x)≤4的解集为.

(2)f(x)=|x|＋2|x-a|=

可见，f(x)在(-∞，a]上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．

当x=a时，f(x)取得最小值a.

若f(x)≥4恒成立，则应a≥4.

所以a的取值范围为[4，＋∞)．

8.解：

(1)因为|x-m|＋|x|≥|(x-m)-x|=|m|.

所以要使不等式|x-m|＋|x|<2有解，则|m|<2，

解得-2<m<2.因为m∈N*，所以m=1.

(2)证明：因为α≥1，β≥1，

所以f(α)＋f(β)=2α-1＋2β-1=4，即α＋β=3，

所以＋=(α＋β)=≥=3.

当且仅当=，即α=2，β=1时等号成立，

故＋≥3.

9.解：

(1)当a=0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，两边平方整理得3x2＋4x＋1≥0，

解得x≤-1或x≥-，

∴原不等式的解集为(-∞，-1]∪-，＋∞．

(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|-|x|，

令h(x)=|2x＋1|-|x|，

则h(x)=故h(x)min=(h- )=-，

所以实数a的取值范围为a≥- ．

10.解：

(1)由已知得f(x-2)-f(x-3)=|x-1|-|x-2|=则-1≤f(x)≤1，

由于∃x0∈R，使不等式|x0-1|-|x0-2|≥u成立，所以u≤1，即M={u|u≤1}．

(2)证明：由(1)知t=1，则(a-1)(b-1)(c-1)=1，

因为a>1，b>1，c>1，所以a-1>0，b-1>0，c-1>0，

则a=(a-1)＋1≥2>0(当且仅当a=2时等号成立)，

b=(b-1)＋1≥2>0(当且仅当b=2时等号成立)，

c=(c-1)＋1≥2>0(当且仅当c=2时等号成立)，

则abc≥8=8(当且仅当a=b=c=2时等号成立)．