初中数学第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明教案设计

这是一份初中数学第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明教案设计，共3页。教案主要包含了预习导学，合作探究等内容，欢迎下载使用。




1．理解相似三角形三个判定定理的证明过程，加深对相似三角形的理解与认识．(重点)


2．应用相似三角形判定定理的证明解决有关问题．(难点)





阅读教材P99～102，自学三个例题，完成下列内容：


1．两角分别相等的两个三角形相似．


2．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．


3．三边成比例的两个三角形相似．


(一)知识探究


(二)自学反馈


下列图形中不一定相似的是( )


A．各有一个角是45°的两个等腰三角形


B．各有一个角是60°的两个等腰三角形


C．各有一个角是110°的两个等腰三角形


D．两个等腰直角三角形





活动1 小组讨论


例 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.





证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则


∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)．


过点D作AC的平行线，交BC于点F，则


eq \f(AD,AB)＝eq \f(CF,CB)(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)．


∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(CF,CB).


∵DE∥BC，DF∥AC，


∴四边形DFCE是平行四边形．


∴DE＝CF.


∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,CB).


∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).


而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C，


∴△ADE∽△ABC.


∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′，


∴△ADE≌△A′B′C′.


∴△ABC∽△A′B′C′.


根据例题中的证明思路，思考：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”该如何证明，三条定理的证明思路有相似之处，定理3的证明过程中，证明两三角形相似时要运用比例变换和等量代换，恒等变形的难度有所增加．


活动2 跟踪训练


1．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有( )


A．△ADE∽△AEF B．△ECF∽△AEF


C．△ADE∽△ECF D．△AEF∽△ABF





2．如图，已知△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.能满足△APC∽△ACB的条件是( )


A．①②④ B．①③④


C．②③④ D．①②③





3．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：________，使△ABC∽△ADE.





4．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1, CD＝eq \f(2,3)，则△ABC的边长为________．





5．如图，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.





6．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．求证：△DEF∽△CBA.





活动3 课堂小结


1．相似三角形判定定理的证明


(1)两角对应相等，两三角形相似．


(2)三边对应成比例，两三角形相似．


(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．


2．相似三角形判定定理的应用








【预习导学】


(二)自学反馈


A


【合作探究】


活动2 跟踪训练


1．C 2.D 3.∠D＝∠B或∠AED＝∠C或eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC) 4.3


5．证明：设正方形ABCD的边长为a.∵BP＝3PC，∴PC＝eq \f(1,4)BC＝eq \f(1,4)a.∴eq \f(AD,QC)＝eq \f(a,\f(1,2)a)＝2，eq \f(DQ,CP)＝eq \f(\f(1,2)a,\f(1,4)a)＝2.∴eq \f(AD,QC)＝eq \f(DQ,CP).∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.


6．证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)，eq \f(DF,AC)＝eq \f(1,2)，eq \f(EF,AB)＝eq \f(1,2).∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(DF,AC)＝eq \f(EF,AB).∴△DEF∽△CBA.