四川省江油中学2021届高三上学期开学考试 数学（理） （含答案）
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理 科 数 学
一、选择题：(共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题：，，则命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.函数的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
4．已知角终边上一点的坐标为，则（ ）．
A． B． C． D．
5.设是周期为4的奇函数，当时，，则( )
A． B． C. D．
6．设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇面的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11.若函数，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分.）
13．已知，，则______.
- 计算：________.
15.若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________.
16．已知函数：① 函数的单调递减区间为；② 若函数有且只有一个零点，则；③ 若，则，使得函数恰有2个零点，，恰有一个零点，且，.其中，所有正确结论的序号是_______.
三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．化简下列各式：
（1）；
（2）.已知终边上一点，且，求、.
18.已知二次函数，满足，.
（1）求函数的解析式,并求在区间上的最大值；
（2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围.
19.已知函数的部分图象如图所示.
求函数的解析式，并求出的单调递增区间;
求出在上的值域.
20．已知函数（，且），且.
（1）求的值，并写出函数的定义域；
（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
21. 已知函数.
（1）若函数在区间（2，）内单调递增，求的取值范围；
（2）设，（）是函数的两个极值点，证明： 恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，．
（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线与曲线交于，．设，且，求实数的值．
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设，，为正实数，若函数的最大值为，且，求证.
江油中学2018级入学考试理科数学参考答案
1. C 2.B 3. B 4. C 5.A 6. C 7．A 8．C 9．A 10.D 11.C 12．C
12.【详解】, ,
当时，在上递减，在上递增，值域为，
当时， ，，值域为，
当时，，，值域为，
当时，，在上递减，在上递增，且当时，，令，
解得， 即当时，，当时，， 所以当时，对任意都有， 即的取值范围是， 故选：C
13． 14. 15. 16．①③
16.当时单调递增；当时单调递减，所以函数的单调递减区间为；即①正确；
由图可知分别与以及相切时，有且只有一个零点，设与切点为，因为；同理可得与相切时，，因此②错误；
由图可知,则，所以③正确； 故答案为：①③
17．【详解】（1）原式＝
（2）由题意知，由三角函数定义得，
，解得.
当时，点，由三角函数的定义可得，；
当时，点，由三角函数的定义可得，.
综上所述，当时，，；当时，，.
18.【详解】解：（1）由，得，由，得，
故，解得， 所以. 得：，
则的图象的对称轴方程为， 又，，
所以当时在区间上取最大值为5.
（2）由于函数在区间上单调，因为的图象的对称轴方程为，
所以或，解得：或，因此的取值范围为：.
19.解：设函数的周期为，由图可知，，即
，，
上式中代入，有，得，. 即，.
又，，
令，解得
即的递增区间为.
，，.
的值域为
20．【详解】(1)，；
(2) ∴ ∴
∴为奇函数；
(3) ∴ 是单调递增函数
∴ ∴ ∴
令 时上式为增函数 ∴ ∴
又∵ ∴ 综上.
21. （1）解：的定义域为，，
若满足题意，只要在恒成立即可，
即恒成立，又，所以，
（2）证明：，则的定义域为，，若有两个极值点，
则方程的判别式，
得，
所以，
设，其中，由得，
又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，从而恒成立.
22.解：（1）由直线的参数方程（为参数），消去得，
所以直线的极坐标方程为，
由，得，
由，代入，得曲线的直角坐标方程为，
（2）显然在直线上，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立
得． 则且，，
设点，分别对应参数，恰为上述方程的根． 则，，，
由题设得， 则有，得或．
因为，且满足，所以．
23.【详解】
（1）由题可知，， 当时，显然不成立，
当时，，∴；
当时，成立， 故的解集为.
（2）证明：由（1）可知，的最大值为3，∴，
∴.
