2021四川省江油中学高三上学期开学考试数学（理）试题含答案

江油中学2018级入学考试

理 科 数 学

一、选择题：(共12小题，每小题5分，共60分)

1．命题：，，则命题是（     ）

A．， B．，

C．， D．，

2.设集合，则（     ）

 A.          B.      C.        D.

3.函数的零点所在的区间是（     ）

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

4．已知角终边上一点的坐标为，则（     ）．

A． B． C． D．

5.设是周期为4的奇函数，当时，，则(     )

A．         B．       C.         D．

6．设，则的大小关系是（    ）

A．     B．       C．     D．

7．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇面的圆心角的弧度数为（    ）

A．    B．   C．   D．

8．若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．函数的图象大致为（     ）

A． B．

C． D．

10.已知函数，若，则实数的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

11.若函数，且，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分.）

13．已知，，则______.

14. 计算：________.

15.若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________.

16．已知函数：① 函数的单调递减区间为；② 若函数有且只有一个零点，则；③ 若，则，使得函数恰有2个零点，，恰有一个零点，且，.其中，所有正确结论的序号是_______.

三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．化简下列各式：

（1）；

（2）.已知终边上一点，且，求、.

18.已知二次函数，满足，.

（1）求函数的解析式,并求在区间上的最大值；

（2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围.

19.已知函数的部分图象如图所示.

求函数的解析式，并求出的单调递增区间;

求出在上的值域.

20．已知函数（，且），且.

（1）求的值，并写出函数的定义域；

（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；

（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

21. 已知函数.

（1）若函数在区间（2，）内单调递增，求的取值范围；

（2）设，（）是函数的两个极值点，证明： 恒成立.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，．

（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知直线与曲线交于，．设，且，求实数的值．

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设，，为正实数，若函数的最大值为，且，求证.

江油中学2018级入学考试理科数学参考答案

1. C   2.B   3. B   4. C   5.A   6. C   7．A   8．C   9．A   10.D   11.C   12．C

12.【详解】,   ,

当时，在上递减，在上递增，值域为，

当时， ，，值域为，

当时，，，值域为，

当时，，在上递减，在上递增，且当时，，令， 

解得，  即当时，，当时，，  所以当时，对任意都有，  即的取值范围是，  故选：C

13．   14.     15.      16．①③

16.当时单调递增；当时单调递减，所以函数的单调递减区间为；即①正确；

由图可知分别与以及相切时，有且只有一个零点，设与切点为，因为；同理可得与相切时，，因此②错误；

由图可知,则，所以③正确；  故答案为：①③

17．【详解】（1）原式＝

（2）由题意知，由三角函数定义得，

，解得.

当时，点，由三角函数的定义可得，；

当时，点，由三角函数的定义可得，.

综上所述，当时，，；当时，，.

18.【详解】解：（1）由，得，由，得，

故，解得，  所以.   得：，

则的图象的对称轴方程为，  又，，

所以当时在区间上取最大值为5.

（2）由于函数在区间上单调，因为的图象的对称轴方程为，

所以或，解得：或，因此的取值范围为：.

19.解：设函数的周期为，由图可知，，即

，，

上式中代入，有，得，.    即，.

又，，

令，解得

即的递增区间为.

，，.

      的值域为

20．【详解】(1)，；

(2)       ∴ ∴

     ∴为奇函数；

(3)       ∴ 是单调递增函数

    ∴    ∴  ∴

令    时上式为增函数   ∴   ∴

又∵    ∴              综上.

21. （1）解：的定义域为，，

若满足题意，只要在恒成立即可，

即恒成立，又，所以，

（2）证明：，则的定义域为，，若有两个极值点，

则方程的判别式，

得，

所以，

设，其中，由得，

又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，从而恒成立.

22.解：（1）由直线的参数方程（为参数），消去得，

所以直线的极坐标方程为，

由，得，

由，代入，得曲线的直角坐标方程为，

（2）显然在直线上，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立

得．  则且，，

设点，分别对应参数，恰为上述方程的根．  则，，，

由题设得，     则有，得或．

因为，且满足，所以．

23.【详解】

（1）由题可知，，  当时，显然不成立，

当时，，∴；

当时，成立，    故的解集为.

（2）证明：由（1）可知，的最大值为3，∴，

∴.