四川省新津中学2021届高三上学期开学考试 数学（理）（含答案）
展开四川省新津中学高2018级高三（上）9月入学考试
数学(理科)
第I卷（共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置）
1.已知复数(为虚数单位)，则=( )
A. 3 B. 2 C. D.
2.五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ）
A. B. C. D.
3.运行下列程序，若输入的的值分别为，则输出的的值为( )
A. B. C. D.
4.一台型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.正方体中，分别为的中点，则与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，则函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
7.“”是“函数在内存在零点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
9.某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则( )
A. B. C. D.
10.若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为( )
A. B. . D.
12.已知函数有唯一零点，则a=( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式中的系数是___________（用数字作答）
14.如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）
15.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．
16.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为__________．
三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（12分）已知，其中．
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；
（2）若n为偶数，求的值．
18.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球
（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望及方差..
19.（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ，且底面.
（1）证明：平面平面；
（2）若为的中点，且，求二面角的大小.
20.（12分）已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求的取值范围.
21.（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若函数的图象与轴有且仅有一个交点，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，对任意的，均有成立，求正实数的取值范围.
22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线与曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值.
四川省新津中学高2018级高三（上）9月入学考试
理科数学试题答案
1.D 2.B 3.B 4.D 5.D 6.A 7.A 8.A 9.B 10.C 11.C 12.A
13.168 14.260 15. 16.
17.
【详解】（1）中
时，展开式中有7项，中间一项的二项式系数最大，此项为，
又，设第项系数最大，则，解得，∴，即第5项系数最大，第5项为；
二项式系数最大的项是第4项为，系数最大的项是第5项为；
（2）首先，记，
则，
，
所以，
所以．
18.（Ⅰ）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；
（Ⅱ）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解；
（Ⅰ）………….. 3分
（Ⅱ）记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，则. ………….. 6分
（Ⅲ）可能的取值为. ………….. 7分
，，
，. ………….. 11分
的分布列为:
0 | 1 | 2 | 3 | |
的数学期望. …12分 D()=
19.（1）证明：∵，∴，
∴，∴.
又∵底面，∴.
∵，∴平面.
而平面，∴平面平面.
（2）解：由（1）知， 平面，
分别以， ， 为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，令，则， ， ， ， ，
∴， .
∴，∴.
故， .
设平面的法向量为，
则，即，
令，得.
易知平面的一个法向量为，则，
∴二面角的大小为.
20.解：(1)
(2)
21.（1）时，，，
，，
所以切线方程为，即.
（2）令 ，
令 ，
易知在上为正，递增；在上为负，递减，
，又∵时，；时，，
所以结合图象可得.
（3）因为，所以，
令 ，
由或.
（i）当时， （舍去），所以，
有时，；时， 恒成立，
得，所以；
（ii）当时，，
则时，；时，，时，，
所以，则，
综上所述，.
22（1）；
（2）考虑直线方程，则其参数方程为（为参数），
代入曲线方程有：，
则有.
