四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学（理）（含答案）

石室中学高2021届2020-2021学年度上期入学考试

理科数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1.已知集合，则集合的元素个数是（    ）

A．0                B．1            C．2              D．3

2．i为虚数单位， ， 则的共轭复数为 （    ）

A.            B．     C.       D．

3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（    ）

A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

4．函数的零点所在的大致区间是（    ）

A．                     B．                    C．                        D．

5．已知向量，，则是//的（    ）

A．充要条件               B．既不充分也不必要条件      C．必要不充分条件          D．充分不必要条件

6 ．已知的内角的对边分别为，若，，，则为（    ）

A．60°     B．60°或120° C．30°   D．30°或150°

7．下列函数中，既是奇函数又在单调递减的函数是（    ）

A．       B．              C． D．

8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，

当时，的面积为（    ）

A．1 B． C．2 D．

9. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，

则图中空白框内应填入（    ）

A．         B．    C．        D．

10. 已知，则的大小关系为（    ）

A．   B．  

C．            D．

11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（    ）

  A．         B.           C．       D．

二、填空题（共4小题；共20分） 

13.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________

14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.

15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成立的的取值集合是___________．

16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；

③平面与平面不可能垂直；       ④四边形的面积的最大值为.

其中所有正确结论的序号为_______ 

三、解答题（共6小题；共70分）

17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．

（Ⅰ）若不剔除两名考生的数据，用组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的大小关系（不必说理由）；

（Ⅱ）求关于的线性回归方程，并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为分），物理成绩是多少？

附：回归方程中,

18．已知三次函数(为常数).

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若，讨论函数在的单调性.

19.如图，四边形与均为菱形，，且．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆有且只有一个公共点．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在以原点为圆心的圆满足：此圆与直线相交于，两点（两点均不在坐标轴上），且，的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．

21．已知函数，其中常数，自然常数.

（Ⅰ）当实数时，求在区间上的最值；

（Ⅱ）设函数在区间上存在极值，求证：.

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数）．

（Ⅰ）写出的极坐标方程； 

（Ⅱ）过原点的射线与的异于极点的交点为，，为上的一点，且，求面积的最大值．

石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（理科）

13.          14.  15． ，，       16.①②④

17.（Ⅰ）．......................4分

（Ⅱ）由题中数据可得：，................6分

所以.............8分

又因为，所以，

，所以，................10分

将代入，得，

所以估计同学的物理成绩为分．....................12分

18．（1）当时，函数

即切线的斜率..................2分

切线方程为即切线为：..................4分

（2）对称轴为..................5分

当时，即，

在上单调递增；.................8分

当时，即，又

令，则，

当或时，；

当时，；

在，上单调递增；

在上单调递减. .................12分

19.（1）设与相交于点，连接，

∵四边形为菱形，∴，且为中点，

∵，∴,

又，∴平面.…………………5分

（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，

∵为中点，∴，又，∴平面.

∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，………7分

设，∵四边形为菱形， ，∴.

∵为等边三角形，∴.

∴，

∴.

设平面的法向量为，则，

取，得.设直线与平面所成角为，………10分

则.                  …………………12分

20．解：（1）由离心率为，可得，

由短轴长为2，可得，                   …………1分

又，解得，，

则椭圆的方程为；     …………4分

（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为．

证明如下：假设存在符合条件的圆，

设此圆的方程为，

当直线的斜率存在时，设的方程为，

由可得，…………5分

因为直线与椭圆有且只有一个交点，

所以△，即，…………6分

由方程组可得，

则△，

设，，，，则，，…………7分

设直线，的斜率为，，

所以…9分

将代入上式，可得，…………10分

要使为定值，则，即，验证符合题意．

所以当圆的方程为时，圆与的交点，满足为定值，…………11分

当直线的斜率不存在时，由题意可得的方程为，此时圆与的交点为，也满足，

综上可得当圆的方程为时，直线与圆的交点，满足斜率之积为定值．……12分

21．（Ⅰ）当时，，，

所以在单减，在单增，…………2分

，，所以，．…………5分

（Ⅱ）依题意，．

则，令，，，

所以在上是单调增函数．

要使得在上存在极值，

则须满足即

所以，，即．…………8分

所以

当时，令，，，所以

所以，．…………11分

即，

所以．…………12分

22．（Ⅰ）由曲线的参数方程为参数）．

可得曲线的普通方程为．

将，代入上式，得．

所以的极坐标方程为．                                                       …………4分

（Ⅱ）设点的极坐标为，，点的极坐标为，

则，，                                                             …………6分

于是的面积                                                                                                                                               …………9分

当时，取得最大值．

所以面积的最大值为．…………10分