高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线优质导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线优质导学案，共8页。







1.单位圆


(1)一般地把半径为1的圆叫做单位圆．


(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．


2.三角函数线





思考：三角函数线的方向是怎样确定的？


[提示] 三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．





1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )





A．正弦线eq \(PM,\s\up8(→))，正切线eq \(A′T′,\s\up8(→))


B．正弦线eq \(MP,\s\up8(→))，正切线eq \(A′T′,\s\up8(→))


C．正弦线eq \(MP,\s\up8(→))，正切线eq \(AT,\s\up8(→))


D．正弦线eq \(PM,\s\up8(→))，正切线eq \(AT,\s\up8(→))


C [由三角函数线的定义知C正确．]


2.角eq \f(π,5)和角eq \f(6π,5)有相同的( )


A．正弦线 B．余弦线


C．正切线D．不能确定


C [eq \f(π,5)与eq \f(6π,5)的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．]


3.角eq \f(5π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) [由于角eq \f(5π,6)的终边与单位圆的交点横坐标是cs eq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，纵坐标是sin eq \f(5π,6)＝eq \f(1,2)，


∴角eq \f(5π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).]





【例1】(1)设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cs α＝OM，则下列命题成立的是( )


A．总有MP＋OM＞1


B．总有MP＋OM＝1


C．存在角α，使MP＋OM＝1


D．不存在角α，使MP＋OM＜0


(2)分别作出eq \f(3,4)π和－eq \f(4,7)π的正弦线、余弦线和正切线．


(1)C [显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C．]


(2)[解] ①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作eq \f(3,4)π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin eq \f(3,4)π＝MP，cs eq \f(3,4)π＝OM，tan eq \f(3,4)π＝AT，即eq \f(3,4)π的正弦线为eq \(MP,\s\up8(→))，余弦线为eq \(OM,\s\up8(→))，正切线为eq \(AT,\s\up8(→)).


②同理可作出－eq \f(4,7)π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙．


sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,7)π))＝M1P1，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,7)π))＝O1M1，


taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,7)π))＝A1T1，即－eq \f(4,7)π的正弦线为eq \(M1P1,\s\up8(→))，余弦线为eq \(O1M1,\s\up8(→))，正切线为eq \(A1T1,\s\up8(→)).





1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．


2.作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线eq \(AT,\s\up8(→))，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．








1.下列四个命题中：


①α一定时，单位圆中的正弦线一定；


②单位圆中，有相同正弦线的角相等；


③α和α＋π有相同的正切线；


④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．


不正确命题的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


C [由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如eq \f(5π,6)与eq \f(π,6)；③中当α＝eq \f(π,2)时，α与α＋π都没有正切线．]


【例2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．


(1)sin α≥eq \f(\r(3),2)；(2)cs α≤－eq \f(1,2).


[思路探究] 作出满足sin α＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝－eq \f(1,2)的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．


[解](1)作直线y＝eq \f(\r(3),2)，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．


故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋eq \f(π,3)≤α≤2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z }.





(2)作直线x＝－eq \f(1,2)，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．


故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋eq \f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq \f(4π,3)，k∈Z }.





1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：


(1)作出取等号的角的终边；


(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；


(3)将图中的范围用不等式表示出来．


2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．








2.求y＝lg(1－eq \r(2)cs x)的定义域．


[解] 如图所示，


∵1－eq \r(2)cs x＞0，


∴cs x＜eq \f(\r(2),2)，


∴2kπ＋eq \f(π,4)＜x＜2kπ＋eq \f(7π,4)(k∈Z)，


∴函数定义域为(2kπ＋eq \f(π,4)，2kπ＋eq \f(7π,4))(k∈Z).


[探究问题]


1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cs α，sin α)，点T的坐标为(1，tan α)呢？


[提示] 由三角函数的定义可知sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cs α，sin α)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝eq \f(y,x)，知纵坐标y＝tan α，所以点T的坐标为(1，tan α)．


2.如何利用三角函数线比较大小？


[提示] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．


【例3】 已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，试比较sin α，α，tan α的大小．


[思路探究] 本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决．


[解] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，


得sin α＝MP，tan α＝AT，


又α＝eq \(AP,\s\up10(︵))的长，


∴S△AOP＝eq \f(1,2)·OA·MP＝eq \f(1,2)sin α，


S扇形AOP＝eq \f(1,2)·eq \(AP,\s\up10(︵))·OA＝eq \f(1,2)·eq \(AP,\s\up10(︵))＝eq \f(1,2)α，


S△AOT＝eq \f(1,2)·OA·AT＝eq \f(1,2)tan α.


又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，


∴sin α＜α＜tan α.





1.本题的实质是数形结合思想，即要先找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题．


2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题．








3.利用三角函数线证明：|sin α|＋|cs α|≥1.


[证明]（图略） 在△OMP中，OP＝1，OM＝|cs α|，MP＝|sin α|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin α|＋|cs α|＞1.


当点P在坐标轴上时，|sin α|＋|cs α|＝1.


综上可知，|sin α|＋|cs α|≥1.





1.应用三角函数线比较大小的策略


①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．


②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．


2.利用三角函数线解三角不等式的方法


①正弦、余弦型不等式的解法


对于sin x≥b，cs x≥a(sin x≤b，cs x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．


②正切型不等式的解法


对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图像可确定相应的范围.





1.已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )


A．eq \f(3π,4)或eq \f(π,4) B．eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)


C．eq \f(π,4)或eq \f(5π,4) D．eq \f(π,4)或eq \f(7π,4)


C [由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝eq \f(π,4)或eq \f(5π,4).]


2.在[0,2π]上满足sin x≥eq \f(1,2)的x的取值范围是( )


A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))


C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))


B [画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥eq \f(1,2)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).]


3.用三角函数线比较sin 1与cs 1的大小，结果是 .


sin 1>cs 1 [∵eq \f(π,4)<1

∴正弦线大于余弦线的长度，


∴sin 1>cs 1.]


4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．


(1)sin α＝eq \f(2,3)；(2)cs α＝－eq \f(3,5).


[解](1)作直线y＝eq \f(2,3)交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．





甲 乙


(2)作直线x＝－eq \f(3,5)交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)


2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)
1.通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养．


2.借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.
三角函数线的概念
利用单位圆解三角不等式
三角函数线的综合应用