高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念教课内容课件ppt

7.2.2　同角三角函数关系

课标要求　1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.

素养要求　通过同角三角函数的基本关系式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

1.思考　(1)写出下列各角的三角函数值，观察它们的值，猜想它们之间的联系.

提示　下列各角的三角函数值为：

由表可看出：

sin230°＋cos230°＝1,  ＝tan  30°，

sin245°＋cos245°＝1, ＝tan  45°，

sin260°＋cos260°＝1,  ＝tan  60°.

(2)设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α，＝tan α.

①能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？

提示　sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.

②公式sin2α＋cos2α＝1与tan α＝  对任意角都成立吗？

提示　sin2α＋cos2α＝1对任意角α均成立，当α≠kπ＋，k∈Z时，tan α＝ 成立.

2.填空　(1)同角三角函数关系

①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

②商数关系：tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z).

(2)同角三角函数关系的变形

①sin2α＋cos2α＝1的变形公式：

sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.

②tan α＝的变形公式：

sin α＝cos__αtan__α；cos α＝.

温馨提醒　同角三角函数的基本关系式中，“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如：sin23α＋cos23α＝1；sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1都成立.

3.做一做　思考辨析，判断正误

(1)因为sin2π＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角. (　　)

(2)对任意角θ，sin2＋cos2＝1都成立.(　　)

(3)对任意角α，＝tan α都成立.(　　)

提示　(1)×　由同角三角函数的基本关系式知，sin2α＋cos2α＝1，必须是同一个角的正弦值或余弦值.且α为任意角.

(2)√　在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1.

(3)×　当α＝＋kπ，k∈Z时不成立.

题型一　利用同角三角函数关系式求值及切弦互化求值

例1 (1)已知sin α＝，求cos α，tan α的值.

解　∵sin α＝>0，

∴α是第一或第二象限角.

当α是第一象限角时，cos α>0，tan α>0，

即cos α＝＝＝，

tan α＝＝；

当α是第二象限角时，cos α<0，tan α<0，

即cos α＝－

＝－＝－，

tan α＝＝－.

综上所述，cos α＝，tan α＝或cos α＝－，tan α＝－.

(2)已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.

解　由tan α＝＝，得

sin α＝cos α.①

又sin2α＋cos2α＝1，②

由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.

又α是第三象限角，

∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.

迁移1 在例1(2)的条件下，求的值.

解　法一(代入法)　∵tan α＝，

∴＝，

∴sin α＝cos α，

∴原式＝

＝＝－.

法二(弦化切)　

＝＝＝－.

迁移2 在例1(2)的条件下，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.

解　法一(代入法)　由(迁移1)知sin α＝cos α，

又∵sin2α＋cos2α＝1，

∴cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.

∴2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝2×cos2α－cos2α＋cos2α＝cos2α＝×＝.

法二(弦化切)　2sin2α－sin αcos α＋cos2α

＝

＝＝＝.

思维升华　(1)已知sin α(或cos α或tan α)求其他两个三角函数值，即“知一求二”时，常用以下方式求解.

(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.

(3)已知tan α的值，求关于sin α、cos α齐次式的值时，对齐次分式可分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化正切，从而求值；对于二次齐次整式，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，从而分子、分母同除cos2α进行求值.

训练1 (1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.

解　∵cos α＝－<0，

∴α是第二或第三象限角，

①当α是第二象限角时，则

sin α＝ ＝ ＝，

tan α＝＝＝－.

②当α是第三象限角时，则

sin α＝－＝－，tan α＝.

(2)已知tan α＝－4，求3sin αcos α及的值.

解　3sin αcos α＝

＝＝＝－.

＝

＝＝.

题型二　sin α±cos α型的求值问题

例2 已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值.

解　因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，

所以(sin θ＋cos θ)2＝，

即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，

所以sin θcos θ＝－.

由上知θ为第二象限角，

所以sin θ－cos θ>0，

所以sin θ－cos θ

＝

＝＝.

思维升华　已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：

(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；

(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；

(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；

(4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.

上述三角恒等式告诉我们，已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.

训练2 在△ABC中，已知sin A＋cos A＝.

(1)求sin Acos A的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求tan A的值.

解　(1)∵sin A＋cos A＝，①

两边平方得1＋2sin AcosA＝，

∴sin Acos A＝－.

(2)由sin Acos A＝－<0，且0<A<π，

可知cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形.

(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，

又∵sin A>0，cos A<0，

∴sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝.②

由①②可得sin A＝，cos A＝－，

∴tan A＝＝＝－.

题型三　利用同角三角函数关系式化简

例3 化简：

(1)－；

(2)；

(3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α.

解　(1)原式＝

＝＝＝－2tan2α.

(2)原式＝

＝＝＝1.

(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α

＝

＝＝.

思维升华　三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.

训练3 化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝________.

答案　1

解析　原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β

＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β

＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)

＝sin2α＋cos2α＝1.

题型四　利用同角三角函数关系式证明

例4 求证：＝.

证明　法一　因为左边

＝

＝＝

＝＝右边，

所以原等式成立.

法二　因为右边＝＝

＝

＝＝左边，

所以原等式成立.

思维升华　证明三角恒等式的思路

(1)从一边开始证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则；

(2)证明左右两边等于同一个式子；

(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1；

(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.

训练4 求证：＝.

证明　∵右边＝

＝

＝

＝＝＝左边，

∴原等式成立.

[课堂小结]

1.掌握2个关系

(1)平方关系：sin2 α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z).

2.掌握3个应用

同角三角函数关系

3.注意1个易错点

求值时，若α的范围无法确定，则一定要对α所在象限分类讨论.

一、基础达标

1.(多选)如果α是第二象限角，则下列各式中成立的是(　　)

A.tan α＝－

B.cos α＝－

C.sin α＝－

D.tan α＝

答案　BD

解析　由商数关系可知A不正确，D正确；当α为第二象限角时， cos α<0，sin α>0，故B正确，C不正确.

2.已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)

A.       B.－    C.－                                                                        D.

答案　C

解析　因为sin α－cos α＝－，两边平方可得1－2sin α·cos α＝，所以2sin αcos α＝－，即sin αcos α＝－.

3.已知sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　)

A.    B.－       C.                                             D.－

答案　B

解析　∵sin α＝－，α为第四象限角，

∴cos α＝，∴tan α＝＝－.

4.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　　)

A.锐角三角形      B.钝角三角形

C.等边三角形      D.等腰直角三角形

答案　B

解析　∵sin α＋cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝，

即1＋2sin αcos α＝，

∴sin α·cos α＝－<0.

∵α是三角形一内角，

∴α∈，即三角形为钝角三角形.

5.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)

A.      B.      C.1                                                          D.

答案　C

解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.

6.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.

答案　1

解析　(1＋tan215°)cos215°＝·cos215°

＝·cos215°＝1.

7.若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝________，tan α＝________.

答案　－　

解析　∵α是第三象限角且cos α＝－，

∴sin α＝－＝－；

∴tan α＝＝.

8.已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________.

答案　－

解析　由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，所以sin α＝－，

故原式＝＝sin α(1＋sin α)

＝×＝－.

9.求证：·＝1.

证明　·

＝·

＝·

＝＝＝1.

10.已知sin α＋2cos α＝，

(1)求tan α的值；

(2)求的值.

解　(1)因为sin α＋2cos α＝，所以sin α＝－2cos α，

代入sin2α＋cos2α＝1可得5cos2α－4cos α＋4＝0，所以(cos α－2)2＝0，故cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.

(2)因为＝，

所以将tan α＝代入，

得原式＝＝.

二、能力提升

11.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ等于(　　)

A.    B.－       C.                                                           D.－

答案　B

解析　由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，得2sin θcos θ＝，

则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，

由0<θ<，知sin θ－cos θ<0，

所以sin θ－cos θ＝－.

12.已知sin α＝3cos α，则sin2α＋cos2α＝________.

答案　

解析　∵sin α＝3cos α，∴tan α＝3，

∴sin2α＋cos2α＝

＝＝＝.

13.证明：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.

证明　∵左边＝sin α＋cos α·＝sin α·＋cos α·

＝＋

＝

＝

＝＝＋＝右边，

∴原等式成立.

三、创新拓展

14.(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？

(2)分别计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？

(3)证明：∀x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x.

(4)推测∀x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明.

(1)解　cos4－sin4

＝

＝cos2－sin2＝－＝，

cos2－sin2＝－＝，

cos ＝.

(2)解　cos4－sin4

＝

＝cos2－sin2＝－＝0，

cos2－sin2＝－＝0，cos ＝0.

(3)证明　cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)·(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x.

(4)解　推测cos2x－sin2x＝cos 2x.