2021学年7.2 三角函数概念教案

这是一份2021学年7.2 三角函数概念教案，共9页。


三角函数是继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具。在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。随着角的概念的推广,任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。
1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；
2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。
1．弧度和角度互化：
(1)－eq \f(2π,3)＝________；
(2)－270°＝________.
答案：(1)－120° (2)－eq \f(3π,2)
2．半径为1 cm，圆心角为eq \f(5π,6)的弧长为________ cm.
答案：eq \f(5π,6)
3．若α＝－4，则α所在的象限为________．
答案：第二象限
4．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为________．
答案：－4π＋eq \f(π,6)
知识点一 任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
答案 sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
思考2 对确定的锐角α，sin α，cs α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cs α，tan α的值怎样表示？
答案 sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x).
梳理 (1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sin_α，
即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cs_α，即cs α＝x；
③eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝eq \f(y,x) (x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cs α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．
梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三 三角函数的定义域
思考 正切函数y＝tan x为什么规定x∈R且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z?
答案 当x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为eq \f(yP,0)无意义，因而x的正切值不存在．所以对正切函数y＝tan x，必须要求x∈R且x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
梳理 正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cs x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
知识点四 三角函数线
思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cs α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
答案 sin α＝MP，cs α＝OM，tan α＝AT.
思考2 三角函数线的方向是如何规定的？
答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值．
思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？
答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
梳理
典型例题
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，求sin θ，tan θ.
解 由题意知r＝|OP|＝eq \r(x2＋9)，
由三角函数定义得cs θ＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(x2＋9)) .
又∵cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，∴eq \f(x,\r(x2＋9))＝eq \f(\r(10),10)x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝eq \f(3,\r(12＋32))＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝eq \f(3,1)＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝eq \f(3,\r(－12＋32))＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝eq \f(3,－1)＝－3.
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
变式1： 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cs α的值．
解 r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，
∴2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)，
∴2sin α＋cs α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1.
综上所述，2sin α＋cs α＝±1.
变式2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cs α＋tan α的值．
解 当角α的终边在射线y＝－eq \f(3,4)x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3,5)＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4).
所以sin α－3cs α＋tan α＝－eq \f(3,5)－eq \f(12,5)－eq \f(3,4)＝－eq \f(15,4).
当角α的终边在射线y＝－eq \f(3,4)x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(3,－4)＝－eq \f(3,4).
所以sin α－3cs α＋tan α＝eq \f(3,5)－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \f(3,4)＝eq \f(3,5)＋eq \f(12,5)－eq \f(3,4)＝eq \f(9,4).
综上，sin α－3cs α＋tan α的值为－eq \f(15,4)或eq \f(9,4).
类型二 三角函数值符号的判断
例2 判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cs(－210°)；(2)sin 3·cs 4·tan 5.
解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cs (－210°)＜0，∴sin 145°cs(－210°)＜0.
(2)∵eq \f(π,2)＜3＜π＜4＜eq \f(3π,2)＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cs 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cs 4·tan 5＞0.
反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
类型三 三角函数线
例3 作出－eq \f(5π,8)的正弦线、余弦线和正切线．
解 如图所示，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,8)))＝MP，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,8)))＝OM，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,8)))＝AT.
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
变式1 在单位圆中画出满足sin α＝eq \f(1,2)的角α的终边，并求角α的取值集合．
解 已知角α的正弦值，可知P点纵坐标为eq \f(1,2).所以在y轴上取点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,6)或α＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))).
变式2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥eq \f(\r(3),2)；
(2)cs α≤－eq \f(1,2).
解 (1)作直线y＝eq \f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足要求的角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).
(2)作直线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))).
本节课中心任务是让学生建立起计算任意角的三角函数与其边上点的坐标之间的关系。首先应让学生明白三角函数值与角终边点的位置的选取无关，然后通过不同象限下的角演示，逐渐形成计算任意角的三角函数的操作过程。课程目标
学科素养
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．
1.数学抽象：三角函数的定义；
2.逻辑推理：三角函数概念的推导过程；
3.数学运算：根据定义求三角函数值；
4.直观想象：借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义。
图示
正弦线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线
有向线段OM即为余弦线
正切线
过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线