数学必修 第一册第7章 三角函数7.2 三角函数概念第2课时学案

这是一份数学必修 第一册第7章 三角函数7.2 三角函数概念第2课时学案，共14页。学案主要包含了弦切互化求值，sin θ±cs θ型求值，条件恒等式的证明等内容，欢迎下载使用。
一、弦切互化求值
例1 已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)eq \f(4sin α－cs α,3sin α＋5cs α)；
(2)eq \f(sin2α－2sin α·cs α－cs2α,4cs2α－3sin2α)；
(3)eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α.
解 (1)原式＝eq \f(4tan α－1,3tan α＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14).
(2)原式＝eq \f(tan2α－2tan α－1,4－3tan2α)＝eq \f(32－2×3－1,4－3×32)
＝－eq \f(2,23).
(3)原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)
＝eq \f(\f(3,4)×32＋\f(1,2),32＋1)＝eq \f(29,40).
反思感悟 (1)已知tan α＝m，可以求eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的值，将分子分母同除以cs α或cs2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
跟踪训练1 已知tan α＝eq \f(4,3)，求eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)的值．
解 方法一 (代入法)
∵tan α＝eq \f(4,3)，∴eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3)，
∴sin α＝eq \f(4,3)cs α，
∴原式＝eq \f(\f(4,3)cs α－3cs α,\f(4,3)cs α＋cs α)＝eq \f(－\f(5,3)cs α,\f(7cs α,3))＝－eq \f(5,7).
方法二 (弦化切) eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)
＝eq \f(\f(4,3)－3,\f(4,3)＋1)＝－eq \f(5,7).
二、sin θ±cs θ型求值
例2 已知sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，θ∈(0，π)，求sin θ－cs θ.
解 方法一 由sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，
得cs θ＝eq \f(1,5)－sin θ.
又sin2θ＋cs2θ＝1，
代入得sin2θ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－sin θ))2＝1，
整理得sin2θ－eq \f(1,5)sin θ－eq \f(12,25)＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋\f(3,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(4,5)))＝0，
解得sin θ＝－eq \f(3,5)或sin θ＝eq \f(4,5).
又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝eq \f(4,5).
所以cs θ＝eq \f(1,5)－sin θ＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(3,5)，
sin θ－cs θ＝eq \f(4,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(7,5).
方法二 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
又sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，两边平方，
整理得sin θcs θ＝－eq \f(12,25)