高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.2 三角函数概念图文课件ppt

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1.一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r,则r=①         .此时,点P是角α的终边与半径为r的圆的交点.我们规定:(1)比值 叫作α的正弦,记作sin α,即sin α= ;(2)比值 叫作α的余弦,记作cs α,即cs α= ;(3)比值 (x≠0)叫作α的正切,记作tan α,即tan α=  α,cs α,tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为α的三角函数.
1 | 任意角的三角函数的概念
知识拓展(1)比值 叫作角α的余切,记作ct α;(2)比值 叫作角α的余割,记作csc α;(3)比值 叫作角α的正割,记作sec α.ct α,csc α,sec α分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.它们也都称为三角函数.
2 | 正弦、余弦、正切函数的值在各个象限的符号
1.有向线段:规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.2.如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段②    MP    、③    OM    、④    AT    分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线,记作sin α=⑤         ,cs α= ,tan α=⑥         .
正弦函数y=sin x的定义域是R,余弦函数y=cs x的定义域是R,正切函数y=tan x的定义域是⑦         .
4 | 三角函数的定义域
1.任意角的三角函数值与角终边上点P的位置有关. (    ✕　)提示:任意角的三角函数值与角终边上点P的位置无关.2.已知点P(m,m)(m≠0)为角α终边上一点,则sin α= . (    ✕　)提示:已知点P(m,m)(m≠0)为角α终边上一点,则sin α=± .3.终边相同的角的三角函数值相等. (　√　)4.若tan α>0,则α为第一、三象限角. (　√　)5.若cs α>0,则α为第一、四象限角. (    ✕　)提示:cs 0=1>0,零角既不是第一象限角,也不是第四象限角.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
6.若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cs α= . (    ✕　)提示:若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cs α= .
1 | 运用三角函数的概念求值
江南水乡,水车在清澈的河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水倒进水渠,流向绿 油油的田地,流向美丽的大自然.
问题1.把水车放在坐标系中,点P为水车上一点,它转动的角度为α,水车的半径为r,你能 写出点P的坐标吗?提示:设P点坐标为(x,y),根据三角函数的概念知sin α= ,cs α= ,则P点坐标为(rcs α,rsin α).2.三角函数值的大小与点P在终边上的位置是否有关?提示:三角函数值是比值,与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有 关.3.三角函数在各象限的符号与角的终边上点P的坐标有怎样的关系?提示:由三角函数的概念知sin α= ,cs α= ,tan α= (x≠0),所以三角函数在各象限的符号由角α终边上的点P的横坐标、纵坐标的正负确定.
1.求解三角函数值需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横、纵 坐标及该点到原点的距离.2.一般情况下,在默认始边与x轴非负半轴重合,顶点为原点的条件下,利用三角函 数的概念求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则确定出该角的终边上异于原点的一点的坐标,即可求出各三角函 数值;(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0),则r= ,sin α= ,cs α= ,tan α= ;(3)若角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
已知点P(m,-2)(m<0)为角α终边上一点,且cs α= ,求sin α和tan α.
思路点拨根据cs α= = 及m<0得出m的值,再求sin α和tan α即可.
解析    因为P(m,-2)(m<0),所以cs α= = ,即m2=5.因为m<0,所以m=- .所以sin α=- ,tan α= .
易错警示三角函数值是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角 的终边位置有关.
2 | 三角函数值在各象限的符号
三角函数值在各象限的符号可总结为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.其 意思是说,第一象限角的三种三角函数值全是正数;第二象限角仅正弦值为正数; 第三象限角仅正切值为正数;第四象限角仅余弦值为正数.
已知sin α<0,tan α>0.(1)求角α的集合;(2)求 的终边所在的象限;(3)试判断tan sin cs 的符号.
思路点拨(1)根据条件判断出α所在的象限,进而可写出α的集合;(2)结合(1)求出 的范围,从而可判断 的终边所在的象限;(3)根据 所在的象限判断tan ,sin ,cs 的正负,进而可判断tan sin cs 的符号.
解析    (1)由sin α<0,知α在第三、四象限或y轴的负半轴上.由tan α>0,知α在第一、三象限.所以角α在第三象限,所以角α的集合为 α 2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z .(2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z,所以kπ+ < 0,cs <0,所以tan sin cs >0;当 在第四象限时,tan <0,sin <0,cs >0,所以tan sin cs >0.综上所述,tan sin cs 的符号为正号.
方法总结    已知一个角的三角函数值中任意两个的符号,可分别确定出角α终边 所在的可能位置,二者的“交集”即该角的终边位置.同时应注意终边在坐标轴 上的特殊情况.
3 | 利用三角函数线解不等式
利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求 点.一般来说,对于sin α≥b,cs α≥a(或sin α≤b,cs α≤a),只需作直线y=b,x=a与单 位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定 相应的α的范围;对于tan α≥c(或tan α≤c),取点(1,c),连接该点和原点即得角的终 边所在的位置,并反向延长,结合图形可确定相应的α的范围.重要提示    确定区域时,可以将终边顺时针(或逆时针)转动,观察函数值的变化, 从而确定符合条件的区域范围.
在单位圆中画出符合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)sin α≥ ;(2)cs α≤- .