河南省信阳市罗山县2021届高三毕业班第一次调研 数学（理）（含答案） 试卷
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数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x｜lg（x－2）＜1}，集合B＝{x｜－2x－3＜0}，则A∪B等于（ ）
A．（2，12） B．（一l，3） C．（一l，12） D．（2，3）
2．已知向量，，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．若命题：，则为（ ）
A． B． C． D．
4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）
A．单调递增 B．单调递减
C．在上递增，在上递减 D．在上递减，在上递增
6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，，则（ ）
A． B． C．0 D．
7 .已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B．
C． D．
9.甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“四位同学去的景点不相同”，事件B=“甲同学独自去一个景点”，则P(A|B)=（ ）
A. B. C. D.
10.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
11.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知方程ln｜x｜－＋＝0有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（0，] C．（0，] D．（0，）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题。每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置。
13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格 | 8.5 | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 |
销售量 | 12 | 11 | 9 | 7 | 6 |
由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则 ．
14. 函数在区间上有两个零点，则的取值范围是_________．
15．已知函数＝单调递减，则实数a的取值范围为__________．
16．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x＋2）＝f（x－2）；③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤＝．其中判断正确的序号是______．
三、解答题：共70分．（17题10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题10分）已知集合，集合
（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围．
18. 已知函数为奇函数．
（1）判断的单调性并证明；
（2）解不等式．
19.设命题函数的定义域为；命题，不等式恒成立，如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围
20.有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
送餐单数 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
甲公司天数 | 10 | 10 | 15 | 10 | 5 |
乙公司天数 | 10 | 15 | 10 | 10 | 5 |
(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
(ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
(ⅱ)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．
21.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和．
（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
22．已知函数（为自然对数的底数）．
（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．
罗山县2020—2021学年度上期高三第一次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
CACCC ADBAB BD
二、填空题
- 39.4 14. 15. 16.①②⑤
三、解答题
17【解析】.解（1）由已知得；
由解得， 所以 ……5分
（2）由题意，解得 …………………10分
18.【解析】（1）由已知，∴，
∴，，
∵，∴为单调递增函数．
（2）∵，∴，
而为奇函数，∴，
∵为单调递增函数，∴，
∴，∴，∴．
19.【解析】思路：由“”为真命题可得至少有一个为真，由“”为假命题可得至少有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明是一真一假。所以分为假真与真假进行讨论即可
解： 命题“”为真命题，且“”为假命题
一真一假
若假真，则函数的定义域不为
恒成立
或
若真假，则函数的定义域为
或
，不等式
解得
综上所述：
20.【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A，则P(A)＝＝.(3分)
(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n，日工资为X元，则
当n＝38时，X＝38×6＝228；当n＝39时，X＝39×6＝234；当n＝40时，X＝40×6＝240；当n＝41时，X＝40×6＋7＝247；当n＝42时，X＝40×6＋14＝254.所以X的分布列为
X | 228 | 234 | 240 | 247 | 254 |
p |
(7分)
E＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝238.6. (9分)
(ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8， (10分)
所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分)
因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．（意对即可） (12分)
21.【解析】（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q＋4.5）万元，
每件销售价为×150%＋×25%．
∴年销售收入为(×150%＋×25%)·Q＝(32Q＋)＋x．
∴年利润W＝(32Q＋)＋x－(32Q＋)－x＝(32Q＋)－x＝16Q＋－x
＝16·＋－x，(x≥0) ．
（2）令x＋1＝t（t≥1），则W＝16·＋－(t－1)＝64－＋3－t＝67－3(＋)．∵t≥1，∴＋≥2＝4，即W≤55，当且仅当＝，即t＝8时，W有最大值55，此时x＝7． 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元．
22.【解析】
（1）∵，
∴，
令，则，
所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，
∴，
．
（2）∵对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
∴对任意恒成立．
令，则．
由于，所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．
即在单调递减，在上单调递增．
∴．
又，即，∴．
∴．
∵，∴．
又∵对任意恒成立，∴，
又，∴．
