江苏省徐州市沛县2021届高三上学期第一次学情调研 数学（含答案） 试卷

徐州市沛县2021届高三数学上学期第一次学情调研

试题参考答案

考试时间：120分钟

第I卷（选择题）

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由集合交集的定义直接运算即可得解.

【详解】

因为集合，，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

2．已知复数满足，则其共扼复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则计算，即可写出共轭复数.

【详解】

因为，所以，其共轭复数为.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算法则，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.

3．4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（    ）

A．480 B．360 C．288 D．144

【答案】B

【解析】

【分析】

先将6个元素作全排列，再除以可得答案.

【详解】

4名护士和2名医生站成一排，共有种，

又因为2名医生顺序固定，所以不同的排法种数为种.

故选：B.

【点睛】

本题考查了排列中的定序问题，属于基础题.

4．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为，化为十进制数即可得出结果.

【详解】

由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为，化为十进制数为.

故选：B.

【点睛】

本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题.

5．根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（    ）

A．0.16 B．0.48 C．0.52 D．0.84

【答案】D

【解析】

【分析】

求其对立事件两城市均未降雨的概率，进而可得结果.

【详解】

记A城市和B城市降雨分别为事件和事件，故，，

可得，,两城市均未降雨的概率为，

故至少有一个城市降雨的概率为，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的应用，属于基础题.

6．（2020北京卷）已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

作出函数和的图象，观察图象可得结果.

【详解】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.故选：D.

【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

7．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由向量，，得到，再根据向量的数量积的运算，列出方程，即可求解，

【详解】

由题意，向量，，∴，

又，可得，解得，故选D.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8． 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A.         B.          C.          D.

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.

【详解】由得或

所以的定义域为

因为在上单调递增

所以在上单调递增

所以

故选：D

【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分。

9．若直线过椭圆的一个焦点，则实数b的值可以是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

先将椭圆方程化成标准式，即可求出焦点坐标，再根据焦点在直线上，即可求出．

【详解】

将椭圆C的方程化为标准形式，易知椭圆的焦点为，，代入直线l的方程中解得或．

故选：AC．

【点睛】

本题主要考查根据椭圆的几何性质的应用，属于基础题．

10．函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则下列说法正确的是（    ）

A．函数为奇函数

B．函数的最小正周期为

C．函数的图像的对称轴为直线

D．函数的单调递增区间为

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.

【详解】

由图象可知

，，

∴，则.

将点的坐标代入中，整理得，

∴，即.，∴，

∴.

∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

∴.

∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

∴的最小正周期，故B正确.

令，解得

.则函数图像的对称轴为直线.故C错误；

由，可得，

∴函数的单调递增区间为.故D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，属于综合题.

11．设正实数，满足，则（    ）

A．有最大值 B．有最大值4

C．有最大值 D．有最小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据基本不等式，由题中条件逐项判断，即可得出结果.

【详解】

因为正实数，满足，

所以，当且仅当时，等号成立，即，故A正确；

又

，当且仅当，即时，等号成立，故B错；

，当且仅当时，等号成立；故C正确；

，当且仅当时，等号成立；故D正确；

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

12．下图是正态分布的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

直接由正态分布曲线的对称性逐个分析四个选项可得答案

【详解】

因为正态分布曲线的对称轴为，，

在y轴左右两侧面积各占，，故A、C、D正确．

故选：ACD

【点睛】

本小题以正态分布为载体，考查正态分布的性质等基础知识，考查数学建模能力，考查统计与概率思想，考查数据分析核心素养，体现基础性和应用性．

第II卷（非选择题）

三、填空题

13.函数的定义域是____________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

【详解】由题意得，

故答案为：

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．

【答案】(x-1)2+y2=4.

【解析】

【分析】

由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.

【详解】

抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，

焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，

以F为圆心，

且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.

【点睛】

本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．设为数列的前项和，，若（），则__________．

【答案】

【解析】

当为奇数时，，则，，，，

当为偶数时，，则，，，，又，

∴

故答案为：

16．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.

【答案】

【解析】

【分析】

以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小.

【详解】

以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：

由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为：

,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得：

.

故答案为：

【点睛】

本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力.

四、解答题

17．在①，，且，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．

在中，角，，的对边分别为，，，且______．

（1）求角；

（2）若，求周长的最大值．

【分析】

（1）若选①，根据向量数量积的坐标表示，以及余弦定理，即可求出角；若选②，根据正弦定理，化简整理，即可求出角；若选③，先将条件化简，得到，即可求出角；

（2）先由余弦定理，根据（1）的结果，得到，再由基本不等式，求出，即可得出周长的最值.

【详解】

（1）选①由，得，

即，所以，    …………………… 3分

又因为，所以，因此．    …………………… 5分

选②根据正弦定理，由得，

又因为，

所以，又因为，

所以，又因为，所以．         …………………… 5分

选③∵，，且，

∴．                       …………………… 2分

化简得，，由余弦定理得，

又因为，∴．                          …………………… 5分

（2）由余弦定理，得．

又∵，∴，当且仅当时等号成立.……………… 7分

∴，解得，，

当且仅当时，等号成立．

∴．

∴的周长的最大值为12．                       …………………… 10分

【点睛】

本题主要考查解三角形，以及求三角形的周长最值问题，熟记正弦定理与余弦定理，以及基本不等式即可，属于常考题型.

18．已知数列的前项和为，满足，，

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由得的递推式，然后可证数列为等比数列；

（2）由（1）求得，得出，用错位相减法求出数列的和.

【详解】

解：（1）由，

由，故，                          …………………… 2分

进而：，

故数列是首项为1，公比为2的等比数列.        …………………… 4分

（2）由（1）知：，

故，                             …………………… 6分

分别记数列，的前项和为，，则

，

，

相减得：，…………………… 10分

所以，，

故.              …………………… 12分

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用.

19．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付。出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”，统计如图如示。

(1)根据上述样本数据，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?

(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ζ，求随机变量ζ的期望。

(3)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折。如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?

附：

解：（1）由已知联列表：

所以，               

（必须保留小数点后三位，否则不给分）

有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；     …………………… 4分               

（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为， ，

                                     …………………… 6分

（3）若选方案一，则需付款元         ……………… 8分                

若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，

，，，        

选择第二种优惠方案更划算           …………………… 12分

20．如图，在正方体中，E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

分析】

（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；

（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（Ⅰ）如下图所示：

在正方体中，且，且，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面；……………… 6分

（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，           

设平面的法向量为，由，得，

令，则，，则.              ……………… 9分

.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.          ……………… 12分

【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.

21．如图，椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据点坐标得到的值，根据离心率得到的值，结合，可求得的值，从而求得椭圆方程.（2）写出直线的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，然后计算直线和直线点的斜率之和，化简后可得定值为.

【详解】

解：（1）由题设知：，，结合，解得，

所以椭圆的方程为.                         ……………… 3分

（2）由题设知：直线的方程为，代入，

得：，           ……………… 5分

由已知，设，，

则，，              ……………… 8分

从而直线的斜率之和为

.……… 12分

【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系.椭圆方程有两个参数，故需要两个条件就可以求解出来.求解时要注意题目是否给定椭圆焦点在哪个坐标轴上.直线和椭圆的位置关系，要熟练掌握将直线方程代入椭圆方程，化简后写出韦达定理这一个步骤.

22．已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．

故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在

（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．              ……………… 3分

（2）等价于.

设函数，则

.                                ……………… 6分

（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意. ……………… 7分

（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；

当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.

所以当时，g(x)≤1.                                ………………9分

（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.

由于，故由（ii）可得≤1.

故当时，g(x)≤1.                                        ………………11分

综上，a的取值范围是.                            ……………… 12分

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．

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