四川省遂宁市2021届高三零诊考试 数学（文）（含答案）
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数学（文科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则A∩B
中元素的个数为
A．3 B．4
C．5 D．6
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
A． B．
C． D．
3. 设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设
为数列的前n项和，则等于
A． B．
C．3 D．1
5. 已知点在直线上，则的最小值为
A． B．
C． D．
6. 已知函数，设，，
，则的大小关系为
A． B．
C． D．
7. 设，满足，则的最小值是
A． B．
C． D．
8. 为了得到函数的图象，可将函数的图象
上所有的点
A.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D.纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，再向右平移个单位长度
9. 已知，则的值为
A. B．
C． D．
10. 秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，
精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学。1208年出生于
普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世。 与
李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他在著作《数书九章》
中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长，求三
角形面积的方法.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，
自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开
平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为
，若满足
，，且a<b<c，则用“三斜求积”公式求得的面积为
A． B．
C． D．
11．在中，点为边上一点，，且，，，，则
A． B．
C． D．
12. 已知函数，函数
的图象过定点，对于任意，有
，则实数的范围为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．计算： 的值为 ▲ ．
14. 函数 的值域为 ▲ ．
15. 设向量，满足，则2的最小值为 ▲ ．
16. 已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为 ▲ ．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数定义在上有恒成立，且当
时，.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）求函数的值域.
▲ |
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且点均在函数
的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，是数列的前项和.
求满足的最大正整数的值.
▲ |
19.（本小题满分12分）
已知函数的部分图
象如图所示．
（1）求函数的解析式与对称中心；
（2）在中，角的对边分别是
，若，，当取得最大值
时，求的面积．
▲ |
20. （本小题满分12分）
已知函数，是
偶函数．
（1）求函数的极值以及对应的极值点．
（2）若函数，且在
上单调递增，求实数的取值范围．
▲ |
21. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点
处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，证明：函数有
且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.
▲ |
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，
直线：，圆：。以极点为原点，极
轴为轴正半轴建立直角坐标系.
（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；
（2）已知点在圆上，点到直线和轴的距离分别为，，求的最大值.
▲ |
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且，求
的最小值。
▲ |
遂宁市高中2021届零诊考试
数学（文科）试题参考答案及评分意见
一、选择题：（每小题5分，共12小题，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | B | A | C | C | B | A | C | B | D | A |
二、填空题：（每小题5分，共4小题，共20分）
13. 7 14. 15. 2 16.
17. 【解析】：（1）由于函数为奇函数，所以..........................2分
（2）当时，.所以............3分
因为是定义在上的奇函数，
所以，即.....................5分
所以函数的解析式为
.............6分
（3）令，当时，，则当时，
可写为，所以 .....................9分
由是定义在上的奇函数.得集合.............12分
18.【解析】（1）点（）均在函数的图象上，
，即..............................1分
当时，.............3分
当时，，满足上式.....................4分
数列的通项公式是...........................5分
（2）由（1）得：， ...............................6分
∴ ...........7分
. .........................................8分
.....................................10分
令 ，解得： ............................................11分
故满足条件的最大正整数的值为.................................12分
19.【解析】（1）由图象知道振幅，周期，所以....1分
将代入解析式得，所以，因为，所以，所以 ........................3分
又由
得对称中心为
综上，解析式为，对称中心....................5分
（2）由得：，
所以2，........7分
因为，所以，所以，，......8分
，，，所以，
所以．所以，此时，又............10分
所以是等边三角形，故..........12分
20. 【解析】：（1）∵，∴.......1分
∴，
为偶函数，∴，解得 .........2分
∴，则，
∴
由，解得或；由，解得或；
∴在，单调递增；在，单调递减。
∴函数的一个极大值点为，对应的极大值为
另一个极大值点为，对应的极大值为；.........................................4分
函数极小值点为，对应的极小值为.....................................................6分
由（1）知，
∴，
∴， .......................7分
函数在上单调递增，∴在上恒成立，.............9分
法一、 ， ............10分
,
∴,
∴ ..................12分
法二、令，
∴，即，解得
∴实数的取值范围............................12分
21.（1）求导： ................1分
由已知有，即，所以（经验证成立）......2分
切点为
故切线方程为：...................................3分
（2）的定义域为且
若，则当时，..............................5分
故在上单调递增，
若，则当；当
故在上单调递增，在上单调递减...........7分
（3）
求导：，因为在上递增，在递减，所以在上递增，又.........8分
故存在唯一使得，所以在上递减，在上递增
又，所以在内存在唯一根 ...................10分
由得，又
故是在上的唯一零点.
综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数................12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. 【解析】：（1）由：得，；
因为，代入有直线的直角坐标方程为：，即为 ...........................................2分
由圆：得，，因为， ，，所以圆直角坐标方程为： .........................4分
由得，圆的参数方程为（为参数） .............5分
（2）设点坐标为
则
..........6分
又 .......................................7分
那么 ..............9分
当时，取得最大值 ...................................10分
23. 【解析】：（1）当时，，又，
则有或或 ............................2分
解得或或。即或。
所以不等式的解集为或 ....................4分
（2）因为在处取得最小值......................5分
所以，则................ 6分
由柯西不等式
.................8分
所以，当且仅当，即，时，等号成立。
故的最小值为 ..............................10分
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