初中数学沪科版九年级上册第22章 相似形综合与测试综合训练题

这是一份初中数学沪科版九年级上册第22章 相似形综合与测试综合训练题，共6页。

【专题概述】


本专题主要通过添加适当的辅助线构造相似三角形,运用相似三角形的知识来解决数学问题.添作辅助线的方法有:添作平行线、添作垂线、连接线段等.


【专题训练】


类型1 巧添平行线求线段的比


解决此类问题时,一般通过添作的平行线得到成比例线段,然后将已知线段的长或线段之间的关系代入求解.


1.如图,已知△ABC,延长BC到点D,使CD=BC,取AB的中点F,连接FD交AC于点E,求AEAC的值.
































类型2 巧添平行线证明成比例线段


解决此类问题时,一般通过添作平行线,得到相似三角形,进而得到成比例线段,然后利用比例的性质,进行比例的变形,证得比例式成立.


2.如图,已知△ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD=CE,DE交AC于点F.求证:AB·DF=BC·EF.
































类型3 巧连线段证明线段的倍分关系


解决此类问题时,连接线段构造相似三角形,得到成比例线段,利用线段之间的关系证得结论.


3.如图,在正方形ABCD中,M为AD的中点,以M为顶点作∠BMN=∠MBC,MN交CD于点N.


求证:DN=2NC.






































类型4 巧连线段证明线段的垂直关系


解决此类问题时,连接线段构造相似三角形,得到相等的角,通过等角之间的转化证得结论.


4.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处(AE为折痕,点E在CD上),在AD上截取DG,使DG=CF.求证:


(1)△ABF∽△FCE;


(2)BD⊥GE.



































类型5 巧作延长线求面积


解决此类问题,通过延长线段构造相似三角形,利用相似三角形的性质求得几何图形的面积.


5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD的平分线CH⊥AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求△HBC的面积.





























类型6 巧添垂线段求线段的长


解决此类问题,通过添作垂线段,构造相似三角形,得到成比例线段,再把已知线段的长代入求解.


6.如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,点F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,求MN的长.























类型7 巧添垂线段求线段的比


解决此类问题,通过添作垂线段,构造相似三角形,得到成比例线段,再把已知线段的长或线段的比代入求解.


7.如图,在△ABC中,AB=AC,E,F,G分别是BC,AB,AC上的点,∠FEG=2∠B.


(1)求证:∠BFE=∠AGE;


(2)若BECE=12,求EFEG的值.





类型8 巧添垂线段证明成比例线段


解决此类问题,通过添作垂线段,构造相似三角形,得到成比例线段,再通过相等线段或相等线段的比的转换证得结论.


8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过点Q且MN⊥CP,交AC,BC于点M,N.


求证:PA∶PB=CM∶CN.








参考答案


1.解:过点F作FM∥AC,交BC于点M.


∵F为AB的中点,∴M为BC的中点,FM=12AC.


∵FM∥AC,∴△FMD∽△ECD,∴ECFM=DCDM=23,


∴EC=23FM=23×12AC=13AC,


∴AEAC=AC-ECAC=AC-13ACAC=23.


2.证明:作DG∥BC交AC于点G,∴△ADG∽△ABC,△DGF∽△ECF,∴ADAB=DGBC,DGCE=DFEF.


∵AD=CE,∴ADDG=ABBC,DGAD=DFEF,


∴ABBC=EFDF,∴AB·DF=BC·EF.


3.证明:延长MN,BC交于点E,连接MC.设AB=2a,则AM=a,BM=5a.


由△BAM≌△CDM,得BM=MC,且∠BCM=∠CBM=∠BMN,∴△BMC∽△BEM,


∴BMBE=BCBM,即5aBE=2a5a,


∴BE=52a,∴CE=BE-BC=52a-2a=12a.


∵四边形ABCD为正方形,


∴∠D=∠DCB=90°,即∠D=∠NCE=90°.


∵∠DNM=∠CNE,∴△MDN∽△ECN,


∴DNNC=MDCE=a12a=2,即DN=2NC.


4.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°,∴∠BAF+∠BFA=90°.


由折叠的性质可得∠AFE=∠ADC=90°,


∴∠CFE+∠BFA=90°,


∴∠BAF=∠CFE,∴△ABF∽△FCE.


(2)由(1)知EFAF=FCAB,又∵EF=DE,AF=AD,FC=GD,∴DEAD=GDAB.


又∵∠BAD=∠GDE=90°,∴△BAD∽△GDE,


∴∠ADB=∠DEG.


又∵∠ADB+∠BDC=90°,∴∠DEG+∠BDC=90°,


∴BD⊥GE.


5.解:延长BA,CD交于点P.


∵CH⊥AB,CH平分∠BCD,


∴CB=CP,且BH=PH.


∵BH=3AH,∴PA∶AB=1∶2,∴PA∶PB=1∶3.


∵AD∥BC,∴△PAD∽△PBC,∴S△PAD∶S△PBC=1∶9.


∵S△PCH=12S△PBC,∴S△PAD∶S四边形AHCD=2∶7.


∵S四边形AHCD=21,∴S△PAD=6,∴S△PBC=54,


∴S△HBC=12S△PBC=27.


6.解:过点F作FH⊥AD于点H,交ED于点O,∴FH=AB=2.


∵BF=2FC,BC=AD=3,∴BF=AH=2,FC=HD=1,


∴AF=FH2+AH2=22+22=22.


∵OH∥AE,∴HOAE=DHAD=13,


∴OH=13AE=13,∴OF=FH-OH=2-13=53.


∵AE∥FO,∴△AME∽△FMO,∴AMFM=AEFO=153=35,∴AM=38AF=324.


∵AD∥BF,∴△AND∽△FNB,


∴ANFN=ADBF=32,∴AN=35AF=625,


∴MN=AN-AM=625-324=9220.


7.解:(1)∵2∠B+∠A=180°,∴∠FEG+∠A=180°,∴∠BFE=∠AGE.


(2)过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥AC于点N,∴△EMF∽△ENG,∴EFEG=EMEN.易证△EBM∽△ECN,


∴EMEN=BECE=12,∴EFEG=12.


8.证明:过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥CB于点F,则四边形CEPF为矩形,∴PF∥EC,PF=EC.


∵∠A=∠B=45°,∴Rt△AEP∽Rt△PFB,


∴AP∶PB=PE∶PF.


∵EC=PF,∴PAPB=PEPF=PEEC. ①


∵CP⊥MN,∴∠QCN+∠QNC=90°.


又∵∠QCN+∠QCM=90°,∴∠MCQ=∠QNC,


∴Rt△PEC∽Rt△MCN,∴EPCM=ECCN,即EPEC=CMCN. ②


由①②得PA∶PB=CM∶CN.