初中数学沪科版九年级上册第22章 相似形综合与测试教学设计

23.1锐角的三角函数

    一、教材分析：

    本节课是义务教育课程标准沪科版九年级 (下) 第23章《解直角三角形》第一节锐角三角函数第一课时，主要内容是：了解坡度,理解正切并能利用它们解决简单的问题.本章内容是三角学中最基础内容，也是今后进一步学习三角学的必要基础.教科书在运用学过的相似三角形知识的基础上推出当直角三角形的锐角大小确定后，直角三角形的两边之比为一定值，从而引入锐角三角函数的概念，进一步强化数形结合思想，有利于数学知识的串联、延伸.

在日常生活中，刻画倾斜程度（坡度）常常用倾斜角（坡角）的大小来表达，但是在大量的实际问题中，倾斜角（坡角）是不可测量的，用倾斜角的正切来刻画倾斜程度（坡度）学生不易想到；所以用“同底不等高”与“底、高都不等”的四组三角形比较坡面的倾斜程度，引入坡度（坡比）的概念，通过坡度与坡角之间的对应关系，引出正切（刻画的是角度与线段比值之间的函数关系）及锐角三角函数的概念.其间，学生进一步认识和体会了函数及函数的变化与对应思想，领悟了数形结合思想.

锐角三角函数——正切、正弦、余弦.相比较而言，正切是生活中用得最多的，如山的坡度、堤坝的坡度、梯子靠在墙上的倾斜程度等都是用正切来刻画的.学好正切，为学正弦、余弦奠定基础，又为高中系统学习三角函数做好铺垫，同时架构了直角三角形的边角关系.

    二、学情分析

学生已经掌握直角三角形中两锐角之间的关系（互余）、三边之间关系（勾股定理），能灵活运用角的大小比较，相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力，为学习锐角三角函数知识奠定了知识基础.

    三、教学目标分析

    鉴于课标、教材及学情分析，确定本课的教学目标：

1. 了解当锐角固定时，它的对边与邻边的比值也是固定的这一事实.初步理解角度与数值之间的一一对应的函数关系.
2. 能正确地运用tanA表示直角三角形（其中一个锐角为A）中两边（直角）之比，并能进行简单的计算.
3. 联系生活实际，经历探索直角三角形中边角关系的过程，培养学生 观察分析、类比归纳的探究问题的能力.
4. 借助探究活动，体验数形结合思想进而分析问题，解决问题.

    四、 教学重、难点的确定

鉴于课标的要求及教材与学情分析，确定本课的重、难点：

重点：理解正切的意义，能正确地运用tanA表示直角三角形（其中一个锐角为A）中两边（直角）之比.

难点：理解正切的意义.

    五、教法和学法分析

    结合本节课的内容特点和学生的学情情况，从学生比较感兴趣的走上坡路的生活经验，提出问题（怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）），以问题的解决（坡度、坡比、坡角、水平宽度、铅直高度及正切等概念）为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和合作交流的形式，在教师的引导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构.另外，采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。

     六、教与学互动设计

    （一）创设情境、激活已有经验

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a,b,c,

①∠A与∠B之间的关系为_____.

②a,b,c之间的关系为_______.

【设计意图】回顾直角三角形中两锐角之间的关系（互余）、三边之间关系（勾股定理）.

2.在测量底部不能直接到达电视塔的高度AB时，从与塔底成一条直线的地面上D,C两处，测得电视塔顶的仰角分别为30°和45°，两个观测点之间的水平距离CD为50米.根据这些数据，能求得电视塔的高度吗？

   你能用勾股定理解决这个问题吗？你想解决吗，下面请和老师一起探究吧！

【设计意图】这是本章的导图，是利用勾股定理不能解决的直角三角形中的测量问题.该问题既能引出学习三角函数的必要性，又激发学生带着解决问题的欲望进入本章的学习，同时学生又能从中体会到三角函数在实际问题中的重要作用.

     二、师生互动，导学达标

     同学们，我们都有过走上（下）坡路的经验,坡面有陡有平,怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢?

【设计意图】从学生的切身的生活经验出发，激发学生的求知欲，调动学生学习的主动性和积极性.

(PPT展示)在图（1）中,有两个直角三角形,直角边AC与A1C1表示水长度,BC与B1C1表示铅直高度，斜边AB与A1B1 分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A1B1哪个更陡?你是怎样判断的?

归纳总结：

坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=（坡度通常写成h∶l的形式）.坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角),记作α.

【设计意图】在日常生活中，刻画倾斜程度（坡度）常常用倾斜角（坡角）的大小来表达，但是在大量的实际问题中，倾斜角（坡角）是不可测量的，用倾斜角的正切来刻画倾斜程度（坡度）学生不易想到；所以用“同底不等高”与“底、高都不等”的四组三角形比较坡面的倾斜程度，引入坡度（坡比）的概念.其间，学生进一步认识和体会函数及函数的变化与对应思想，领悟了数形结合思想.

同学们，坡度与坡角之间有关系吗?若有，请指出有何关系，如何刻画？

坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.

(师进一步展示PPT)

如图,在锐角A的一边上任取一点B,自点B向另一边作垂线,垂足为C,得到Rt△ABC;再任取一点B1,自点B1向另一边作垂线,垂足为C1,得到另一个Rt△AB1C1……这样,我们可以得到无数个直角三角形,这些直角三角形都相似.在这些直角三角形中,锐角A的对边与邻边之比 究竟有怎样的关系?

归纳总结：

在图5的这些直角三角形中，当锐角A大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与领边的比值总是一个固定值

在Rt△ABC中,把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切(tangent),记作tanA,（读法）

特别强调：

①tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角

②tanA 是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位.)

③tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；∠α 的正切表示为：tanα；但∠BAC的正切应表示为:tan∠BAC； ∠1的正切表示为:tan∠1，

④将来遇到锐角的正切问题，必须放到直角三角形中去解决（如没有直角三角形，可作辅助线构造直角三角形

   显然，坡面的倾斜程度—坡度()与坡角（）之间的关系——通常用坡角（）的正切来描述.即.

【设计意图】通过图5直角三角形中，当锐角A大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与领边的比值总是一个固定值，引出正切（刻画的是角度与线段比值之间的函数关系）及锐角三角函数的概念.进而将坡度与坡角的正切之间的关系统一起来.

跟踪练习：

1. 判断正误

（1）如图1，  (     )

（2）如图2， （    ）

（3）如图2，  （    ）

（4）如图2，（    ）

小结：

1、锐角正切值要在直角三角形中进行计算；

2、tanA 没有单位，它表示一个比值

【例1】　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.

 解：，

变式：

（1）在ΔABC中,AB=5，BC=3，∠C=90°，求tanA和tanB的值

小结：在直角三角形中，已知任意两边的长度，可求两锐角的正切值.

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，，求AB的值.

小结：在直角三角形中，已知任一边长度和一锐角正切值，可求另两边的长度.

拓展提升

1、如右图, ∠ACB=90°CD⊥AB.

小结：锐角A在不同的直角三角形中可以有不同的对边与邻边，但正切值不变.另外相等的锐角，它们的正切值也相等.

2.等腰△ABC,AB=AC=13,BC=10,求tanB.

小结：在非直角三角形中求角的正切值，要作辅助线构造直角三角形来解决问题.

三、反思感悟，积累经验

1.坡度：坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度。

2.正切：在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切

3. 正切的注意事项.

四、布置作业

1.P114页练习1、2、3

2.用类比的方法探究锐角三角函数（正弦、余弦）及特殊角（30°、45°、60°）三角函数值.

教学思考：

1.1从生活中的问题出发,激发兴趣

苏霍姆林斯基指出:“在人的心灵深处,总有一种根深蒂固的需要,这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者.”课开始,我借助本章的导图，它是勾股定理不能解决的直角三角形中的测量问题.该问题既能引出学习三角函数的必要性，又激发学生带着解决问题的欲望进入本章的学习，同时学生又能从中体会到三角函数在实际问题中的重要作用.从而了激发学生的学习兴趣,促使他们产生强烈的求知欲.

    1.2注重揭示数学概念的本质

锐角三角函数对学生来说是一个全新的概念，在本课时，甚至在本章它是集重点、难点、关键问题于一体的基础概念. 锐角三角函数与学生以前所学的一次函数、二次函数及反比例函数有所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系.本节课以正切函数为例，通过相似三角形，得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与邻边的比始终是一个常数，这就揭示了锐角与比值的对应关系，即对于每一个锐角，都有一个确定的比值与之对应，从而给出正切函数的定义.也就说明对于锐角A的每一个确定的值，tanA有唯一确定的值与它对应，所以tanA是锐角A的函数.同样地，sinA，cosA也是锐角A的函数.这样学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深了对数学概念及数学本质的理解.

锐角三角函数概念是由直角三角形引入的，不是由直角坐标系引入，目的是为了降低难度，引导学生充分而准确地理解好三角函数概念对后续学习有着极其重要的意义.

    1.3对数学思想方法的把握

本课时蕴含着重要思想方法有：化归思想、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等.本章的内容是数形结合的最佳材料.不论在引入概念、计算化简、解决实际问题时，都可以引导学生通过画图帮助分析，由图形找出直角三角形中的边、角的关系，加深对锐角三角函数概念的理解.比如，正切的意义说明对于每一个锐角，都有一个确定的比值与之对应，也就说明对于锐角A的每一个确定的值，tanA有唯一确定的值与它对应，所以tanA是锐角A的函数.同样地，sinA，cosA也是锐角A的函数.突出一一对应思想、函数思想、符号化思想，这样促使学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深了对数学概念及数学本质的理解.

     1.4.对数学思维方式的感悟

    本节蕴含的思维方式有：比较、类比、抽象、概括、猜想——验证，其中“概括”是数学思维方式的核心.教学中，通过“同底不等高”与“底、高都不等”的四组三角形比较坡面的倾斜程度，引入坡度（坡比）的概念，通过坡度与坡角之间的对应关系，利用已学过的相似三角形的知识，引导学生发现直角三角形中边角之间的关系，充分理解三角函数符号所表达的意义.引出正切（刻画的是角度与线段比值之间的函数关系）及锐角三角函数的概念.其间，学生进一步认识和体会了函数及函数的变化与对应思想，领悟了数形结合思想.