（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（39）第六章不等式、推理与证明第二讲一元二次不等式及其解法（含解析）
展开[练案39]第二讲 一元二次不等式及其解法
A组基础巩固
一、单择题
1．(2020·重庆一中期中)“2<m<6”是“方程－＝1表示的曲线为双曲线”为( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 方程表示双曲线⇔(m－2)(6－m)>0⇔(m－2)(m－6)<0⇔2<m<6，故选C.
2．(2020·衡水中学调研卷)已知A＝{x|x2－3x－4≤0，x∈N}，B＝{x|2x2－x－6>0，x∈Z}，则A∩B的真子集个数为( B )
A．2 B．3
C．7 D．8
[解析] A＝{x|(x－4)(x＋1)≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤4，x∈N}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|(2x＋3)(x－2)>0，x∈Z}＝{x|x<－或x>2，x∈Z}，∴A∩B＝{3,4}，其真子集个数为22－1＝3.
3．(2020·山东临沂质检)函数y＝ln(2x＋1)＋的定义域为( B )
A．[－，2] B．(－，2]
C．[－2，－) D．[－2，－]
[解析] 由题意可知：解得－<x≤2.故选B.
4．(2020·安徽皖南八校期中)若集合A＝{x|x2－5x－6>0}，B＝{x|2x>1}，则(∁RA)∩B( B )
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤6}
C．{x|－2≤x<0} D．{x|0<x≤3}
[解析] 由题意，集合A＝{x|x2－5x－6>0}＝{x|x<－1或x>6}，B＝{x|2x>1}＝{x|x>0}，则∁RA＝{x|－1≤x≤6)，所以(∁RA)∩B＝{x|0<x≤6}．故选B.
5．(2020·安徽淮北模拟)不等式>1的解集为( B )
A．{x|－2<x<－1或x>3} B．{x|－3<x<－1或x>2}
C．{x|x<－3或－1<x<2} D．{x|x<－3或x>2}
[解析] 不等式⇔>0⇔(x2＋x－6)(x＋1)>0，(x－2)(x＋1)(x＋3)>0.易知相应方程的根为－3，－1,2，由穿针引线法可得原不等式的解集为{x|－3<x<－1或x>2}．故选B.
6．(2020·甘肃天水一中模拟)“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是( D )
A．m≥1 B．m≤1
C．m≥0 D．m≥2
[解析] “不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充要条件为：“(－2)2－4m<0”即“m>1”，又“m≥2”是“m>1”的充分不必要条件，即“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：“m≥2”，故选D.
7．(2020·江西南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( A )
A．(0,1) B．(－2,1)
C．(－2,0) D．(－，)
[解析] 记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依题意有即解得0<m<1.选A.
二、多选题
8．(2020·广东江门市模拟改编)根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位：万件)大约是Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．据此预测，本年度内，需求量超过5万件的月份可能是( BC )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位：万件)大约是Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，则第n个月的需求量为an＝Sn－Sn－1＝>5⇔3n2－45n＋27×6<0，n2－15n＋54<0⇔6<n<9.故选B、C.
9．(2020·山东洛阳一中月考题)不等式x2－2x－3≥3a－a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围可以为( AC )
A．(－∞，－1] B．[－1,4]
C．[4，＋∞) D．[－2,5]
[解析] x2－2x－3＝(x－1)2－4的最小值为－4，所以x2－2x－3≥3a2－a2对任意实数x恒成立，只需3a－a2≤－4，解得a≤－1或a≥4，故选A、C.
三、填空题
10．不等式－x2－3x＋4>0的解集为__{x|－4<x<1}__.
[解析] －x2－3x＋4>0⇔x2＋3x－4<0⇔(x＋4)(x－1)<0⇔－4<x<1.
11．(2020·广东深圳二调)不等式x＋1≥的解集为__{x|－2≤x<0或x≥1}__.
[解析] 原不等式可化为≥0⇒x(x－1)(x＋2)≥0且x≠0⇒－2≤x<0或x≥1.
另解：数列结合：由x＋1＝得x1＝－2，x2＝1，结合图象可知不等式x＋1≥的解集为{x|－2≤x<0或x≥1}．
12．(2020·江西八校联考)已知f(x)＝则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是__{x|x<2}．__
[解析] 原不等式可化为或
解得x<2.
13．函数f(x)＝ln(x2－6kx＋k＋8)．
(1)若f(x)的定义域为R，则实数k的取值范围是 (－，1) .
(2)若f(x)的值域为R，则实数k的取值范围是 (－∞，－]∪[1，＋∞) .
[解析] (1)由题意知x2－6kx＋k＋8>0恒成立，
⇒(－6k)2－4(k＋8)<0⇒9k2－k－8≤0
⇒(k－1)(9k＋8)<0，即－<k<1.
(2)由题意知y＝x2－6kx＋k＋8取遍所有正数
⇒(－6k)2－4(k＋8)≥0⇒(k－1)(9k＋8)≥0，
即k≥1或k≤－.
四、解答题
14．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
[解析] x2－(a＋a2)x＋a3>0⇒(x－a2)(x－a)>0，
当a<0时，x<a或x>a2；
当a＝0时，x<0或x>0；
当0<a<1时，x<a2或x>a；
当a＝1时，x<1或x>1；
当a>1时，x<a或x>a2.
综上可知：①当a<0或a>1时，不等式解集为{x|x<a或x>a2}；
②当a＝0时，不等式解集为{x|x<0或x>0}；
③当a＝1时，不等式解集为{x|x>1或x<1}；
④当 0<a<1时，不等式解集为{x|x<a2或x>a}．
15．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为{x|x ∈R，x≠}，求k的值；
(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；
(4)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．
[解析] (1)由不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}可知k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
∴(－3)＋(－2)＝，解得k＝－.
(2)由不等式的解集为{x|x∈R，x≠}可知解得k＝－.
(3)依题意知解得k<－.
(4)依题意知解得k≥.
B组能力提升
1．(2020·河南省阶段测试)设集合A＝{x|x2－5x＋6<0}，B＝{x|2x－1<2}，则A∩B＝( A )
A．(2，) B．(－2，)
C．(2，＋1) D．(－2，＋1)
[解析] 解不等式x2－5x＋6<0，得2<x<3，则A＝(2,3)．解不等式2x－1<2＝2，得x－1<，解得x<，则B＝(－∞，)．因此，A∩B＝(2，)．故选A.
2．(2020·四川成都龙泉驿一中月考)若命题：“∃x0∈R，ax2－ax－2>0”为假命题，则a的取值范围是( D )
A．(－∞，－8]∪[0，＋∞) B．(－8,0)
C．(－∞，0] D．[－8,0]
[解析] 由题意知，ax2－ax－2≤0恒成立⇒a＝0或⇒－8≤a≤0，故选D.
3．(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为( A )
A．(－，)∪(2，＋∞) B．(－，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－，2)
[解析] ∵f(x)为偶函数，∴a＝－2，
∴(x－2)f(x)<0⇔(x－2)(x－)(x＋)>0
⇔－<x<或x>2.故选A.
4．(2020·山西大同一中模拟)已知函数f(x)＝若f(3－a2)<f(2a)，则实数a的取值范围是__(－3,1)__.
[解析] 作出函数f(x)的图象如图，
由图可知，函数f(x)为单调递减函数，
∵f(3－a2)<f(2a)，∴3－a2>2a，
解得－3<a<1.
5．(2020·河北正定中学月考)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式，f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的x∈[－1,1]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解不等式f(x)>1.
[解析] (1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的x∈[－1,1]恒成立，
设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1，x∈[－1,1]；
①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，无解；
②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－<a≤1；
③当a>1时，g(x)min＝g(1) ＝1－2a＋2a＋1>0，得a>1.
综上，实数a的取值范围为(1－，＋∞)．
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax ＋a＋1)>0，
因为a<0，所以(x－1)(x＋)<0，
因为1－(－)＝，
所以当－<a<0时，1<－，
解集为{x|1<x<－}；
当a＝－时，不等式可化为(x－1)2<0，不等式无解；
当a<－时，1>－，解集为{x|－<x<1}．
