（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（41）第六章不等式、推理与证明第四讲基本不等式（含解析）

 [练案41]第四讲　基本不等式A组基础巩固一、单选题1．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为(　A　)A．4　 B．4　C．2　 D．2[解析]　∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4，故选A.2．(2020·辽宁铁岭六校联考协作体联考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg()，则(　B　)A．R<P<Q　　 B．P<Q<RC．Q<P<R　　 D．P<R<Q[解析]　由于函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，又a>b>1，则lg a>lg b>0，由基本不等式可得P＝<(lg a＋lg b)＝lg (ab)＝lg <lg ＝R因此，P<Q<R，故选B.3．(2020·全国联考)若log3(2a＋b)＝1＋log，则4a＋2b的最小值为(　C　)A．6　 B．　C．　 D．[解析]　因为log3(2a＋b)＝1＋log，所以2a＋b＝3ab，且a>0，b>0，所以(2a＋b)＝2ab≤()2，因为2a＋b>0，所以2a＋b≥，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时取等号，故4a＋2b的最小值为.4．(2020·安徽黄山质检)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是(　D　)A．2　 B．3　C．4　 D．5[解析]　由题意知，f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，因为x>0，所以x＋1>0，则x＋1＋＋1≥2＋1＝5，(当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”)故f(x)的最小值是5.5．(2020·山西大同联考)已知正实数m，n满足＋＝4，则m＋n的最小值是(　D　)A．4　 B．2　C．9　 D．[解析]　由题意知m＋n＝(＋)(m＋n)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，(当且仅当m＝，n＝时取等号)∴m＋n的最小值为，故选D.6．(2020·辽宁葫芦岛协作校联考)“∀x，y>0，(x＋y)(＋)≥a”是“a≤8”的(　B　)A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件[解析]　∵x，y>0，∴(x＋y)(＋)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即y＝2x>0时，等号成立．∴a≤9.∴“∀x，y>0，(x＋y)(＋)≥a”是“a≤8”的必要不充分条件，故选B.7．(2020·陕西绥德中学阶段测试)已知：x>1，y<0，且3y(1－x)＝x＋8，则x－3y的最小值是(　A　)A．8　 B．6　C．　 D．[解析]　由题意3y＝且x－1>0，∴x－3y＝x＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝8，(当且仅当x－1＝即x＝4时取等号)∴x－3y的最小值为8，故选A.8．(2020·广东期中)已知a>1，b>0，a＋b＝2，则＋的最小值为(　A　)A．＋　　 B．＋C．3＋2　　 D．＋[解析]　由题意知a>1，b>0，a＋b＝2，可得：(a－1)＋b＝1，a－1>0，则＋＝[(a－1)＋b](＋)＝1＋＋＋≥＋2＝＋，当且仅当＝且a＋b＝2时，即a＝3－，b＝－1时等号成立，则＋的最小值为＋.故选A.9．(2020·四川眉山一中办学共同体期中)圆x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在两点关于直线ax－2by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为(　D　)A．3＋2　　 B．9C．16　　 D．18[解析]　由圆的对称性可得，直线ax－2by＋1＝0必过圆心(－2,1)，所以a＋b＝.所以＋＝2(＋)(a＋b)＝2(5＋＋)≥18，当且仅当＝且a＋b＝时，即a＝，b＝时取等号，故选D.二、多选题10．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　CD　)A．a＋b≥2　　 B．＋≥2C．|＋|≥2　　 D．a2＋b2≥2ab[解析]　因为和同号，所以|＋|＝||＋||≥2.∵(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，故选C、D.11．下列命题中正确的是(　BD　)A．函数y＝sinx＋(0<x<π)的最小值为4B．函数y＝的最小值为C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4[解析]　A．sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．因为≥，所以取不到“＝”，设＝t(t≥)，y＝t＋在[，＋∞)上为增函数，最小值为，故B正确；因为x>0时，3x＋≥2·＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，所以y＝2－(3x＋)有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．故选B、D.12．(2020·四川成都新都区诊断改编)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的值可以为(　BC　)A．18　 B．12　C．16　 D．20[解析]　由题意知n≤(3a＋b)(＋)＝10＋＋∵10＋＋≥10＋2＝16，(当且仅当a＝b时取等号)∴10＋＋的最小值为16，故n的最大值为16.选B、C.三、填空题13．(2020·广东惠州调研)已知x>，则函数y＝4x＋的最小值为__7__.[解析]　∵x>，∴4x－5>0，∴y＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，当且仅当4x－5＝即x＝时取等号，∴y的最小值为7.14．(2020·湖南模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产品__80__件．[解析]　由题意知平均每件产品的生产准备费用是元，则＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，所以每批应生产产品80件．15．(2020·湖北部分重点中学联考)已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是__(－4,2)__.[解析]　∵x>0，y>0，∴＋≥2＝8(当且仅当y＝2x时取等号)∴＋的最小值为8，由题意可知m2＋2m－8<0，解得－4<m<2，即m的取值范围是(－4,2)．B组能力提升1．函数f(x)＝＋(0<x<1)的最小值为(　C　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　∵0<x<1，∴1－x>0∴f(x)＝[(1－x)＋x](＋)＝＋＋≥＋2＝(当且仅当2x＝1－x，即x＝时取等号)∴f(x)的最小值为，故选C.2．(2020·山东新泰一中质检)已知△ABC的面积是9，角A，B，C成等差数列，其对应边分别是a，b，c，则a＋c的最小值是(　A　)A．12　 B．12　C．10　 D．10[解析]　由题意知B＝，∴acsin B＝9，∴ac＝36，∴a＋c≥2＝12，(当且仅当a＝c＝6时取等号)∴a＋c的最小值为12，故选A.3．(2020·山东济宁期末)已知函数f(x)＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋4＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为(　B　)A．　 B．　C．2　 D．4[解析]　由题意知A(－2，－1)，∴2m＋n＝4，∴2(m＋1)＋n＝6，∴＋＝[2(m＋1)＋n](＋)＝(4＋＋)≥(4＋2)＝，当且仅当n＝2(m＋1)，即m＝，n＝3时取等号，∴＋的最小值为，故选B.4．(2020·安徽宣城第二次调研)已知双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为(　B　)A．2　 B．3　C．4　 D．5[解析]　由题意知m＋n＝5－2＝3，∵m>0，n>0，∴＋＝(m＋n)·(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝3，当且仅当＝，即m＝2n＝2时，等号成立，∴＋的最小值为3.故选B.5．(2020·河北)已知m>0，xy>0，当x＋y＝2时，不等式＋≥4恒成立，则m的取值范围是(　B　)A．[，＋∞)　　 B．[2，＋∞)C．(0，]　　 D．(0,2][解析]　由题意知m>0，x>0，y>0，∵＋＝(x＋y)(＋)＝(2＋m＋＋)≥(2＋m＋2)＝(2＋m＋2)(当且仅当y＝x时取等号)∴(2＋m＋2)≥4(m>0)，解得m≥2，故选B.