（山东专用）2021版高考数学一轮复习考案6第六章不等式、推理与证明综合过关规范限时检测（含解析）

 [考案6]第六章　综合过关规范限时检测

(时间：45分钟　满分100分)

一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．(2020·安徽省马鞍山市高三模拟)已知集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|ln x>0}，则(∁R A)∩B＝(　C　)

A．∅　　 B．(0,4]

C．(1,4]　　 D．(4，＋∞)

[解析]　由题意，集合A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|ln x>0}＝{x|x>1}，∁RA＝[－1,4]，则(∁RA)∩B＝(1,4]．故选C.

2．(2020·河北廊坊第一中学)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，那么不等式f(－2x)<0的解集为(　A　)

A．(－∞，－)∪(，＋∞)

B．(－，)

C．(－∞，－)∪(，＋∞)

D．(－，)

[解析]　由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集为(－1,3)，则a<0，

故＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3，

∴f(x)＝－x2＋2x＋3，

∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，

解得x>或x<－，

故不等式f(－2x)<0的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)．故选A．

3．(2020·山东省临沂市高三模拟考试)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值与最小值之和为(　C　)

A．4　 B．6

C．8　 D．10

[解析]　给制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：y＝－2x＋z，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B(2,2)处取得最大值，

据此可知目标函数的最大值为：zmax＝2×2＋2＝6，

其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：，

可得点的坐标为A(0,2)，

据此可知目标函数的最小值为： zmin＝2×0＋2＝2.

综上可得：z＝2x＋y的最大值与最小值之和为8，故选C.

4．(2020·广东月考题)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于函数1<x<4的一切x都有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　D　)

A．a≥1　 B．<a<1

C．a≥　 D．a>

[解析]　由f(x)>0得ax2－2x＋2>0，即a>－，设＝t，g(t)＝－2t2＋2t，t∈(，1)，当t＝时，g(t)max＝g()＝，∴a>，故选D.

5．(2020·山东省德州市高三期末联考)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>的(　D　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　若“ab>1”当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>”，若“a>”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要条件，故选D.

6．(2020·河南八市测评二)若变量x，y满足约束条件则的最大值为(　B　)

A．1　 B．

C．3　 D．5

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示．

由得A(1，)，设＝k，则y＝kx.

显然当直线y＝kx过点A(1，)时k最大．

此时kmax＝.故选B.

7．(2020·湖北荆州月考)已知a>1，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为(　B　)

A．4　 B．8

C．9　 D．6

[解析]　由题意知a－1>0，b－2>0，

又a＋b＝5，∴(a－1)＋(b－2)＝2，

∴＋＝[(a－1)＋(b－2)](＋)

＝[10＋＋]

≥[10＋2]＝8.

(当且仅当即时取等号)故选B.

二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

8．(2020·吉林长春重点中学联考改编)若a>0>b，则下列不等式恒成立的是(　BD　)

A．<　　 B．>

C．a2>b2　　 D．a3>b3

[解析]　∵a>0>b，∴>0，<0，∴>，又a3>0>b3.故选B、D.

9．在下列函数中，最小值为2的函数有(　AB　)

A．f(x)＝2x＋2－x

B．f(x)＝tanx＋，x∈(0，)

C．f(x)＝

D．f(x)＝4－x－(x>0)

[解析]　对于选项A,2－x＝>0，∴f(x)＝2x＋≥2，最小值为2.对于选项B，f(x)＝tanx＋≥2，最小值也为2.对于选项C，f(x)＝＝x2＋1＋≥4，最小值为4，故C错．对于选项D，x＋≥2，显然f(x)有最大值2，故D错．因此选A、B.

10．“存在正整数n，使不等式(n＋3)lga>(n＋5)lgaa(0<a<1)”成立的一个充分条件是(　BD　)

A．0<a<　　 B．<a<1

C.<a<　　 D．<a<

[解析]　由(n＋3)lga>(n＋5)lgaa且0<a<1得(n＋3)<a(n＋5)∴a>＝1－，即a大于1－的最小值，当n＝1时最小值为1－＝，故选B、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

11．(2020·湖北省宜昌市高三年级元月调研考试)已知正实数m，n满足m＋2n＝mn，则m＋n的最小值为　3＋2　.

[解析]　正实数m，n满足m＋2n＝mn，两边同除以mn得：＋＝1，∴m＋n＝(m＋n)·1＝(m＋n)·(＋)＝2＋1＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当m＝＋2，n＝1＋时等号成立．∴m＋n的最小值为3＋2.

12．(2020·安徽省合肥市六校高三联考)设x，y满足不等式组则2x－y的所有值构成的集合中元素个数为__7__.　

[解析]　作出不等式所表示的区域如图所示，

由得A(1,2)，结合x，y∈N可得原不等式组所表示的区域为{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(3,0)}，将其代入2x－y，可得值为0，－1,2,1,0,4,3,6，即2x－y的所有值构成的集合为{0，－1,2,1,4,3,6}，元素个数为7，故答案为7.

13．关于x的不等式ax－b>0的解集为(，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是__(1,5)__．

[解析]　∵ax－b>0的解集为(，＋∞)，∴a>0且a＝2b∴＝∴分式不等式变形为<0，即(x－1)(x－5)<0，解集为(1,5)．

14．圆x2＋y2－4x－2y－8＝0关于直线ax＋2by－2＝0(a，b>0)对称，则＋的最小值为__9__.

[解析]　由圆方程得(x－2)2＋(y－1)2＝13.圆心为(2,1)因此2a＋2b－2＝0即a＋b＝1，∴＋＝(＋)(a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9.故填9.

三、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分15分)已知二次函数f(x)＝ax2－bx＋2(a>0)．

(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1}，求a和b的值；

(2)若b＝2a＋1，解关于x的不等式f(x)≤0.

[解析]　(1)不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1}，所以与之对应的二次方程ax2－bx＋2＝0的两个根为1,2，由根与系数的关系得解得a＝1，b＝3.

(2)因为b＝2a＋1，所以f(x)＝(x－2)(ax－1)≤0，

即(x－2)(x－)≤0.

当<2，即a>时，

不等式f(x)≤0的解集为{x|≤x≤2}；

当>2，即0<a<时，

不等式f(x)≤0的解集为{x|2≤x≤}；

当＝2，即a＝时，

不等式f(x)≤0的解集为{2}．

16．(本小题满分15分)(2020·山西运城期中)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

[解析]　(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：＝x＋－200≥2－200＝200，

当且仅当x＝，即x＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

(2)设该单位每月获利为S，则S＝100x－y

＝100x－(x2－200x＋80 000)＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000

因为400≤x≤600，

所以当x＝400时，S有最大值－40 000.

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．