（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（45）第七章立体几何第四讲直线、平面平行的判定与性质（含解析）

 [练案45]第四讲　直线、平面平行的判定与性质

A组基础巩固

一、单选题

1．(2020·河南省开封市模拟)已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　D　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　n⊂α，m∥n，当m⊂α时，m∥α，m∥α，n⊂α⇒m∥n或m、n异面即m∥n，故“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．

2．(2020·辽宁沈阳东北育才学校模拟)在空间中，下列命题中为真命题的是(　D　)

A．垂直于同一直线的两条直线平行

B．平行于同一平面的两条直线平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．平行于同一平面的两个平面平行

3．(2019·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE︰EB＝AF︰FD＝1︰4，H，G分别是BC，CD的中点，则(　B　)

A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

[解析]　

如图，由条件知EF∥BD，

EF＝BD，HG∥BD，HG＝BD，

∴EF∥HG且EF＝HG，

∴四边形EFGH为梯形，

∵EF∥BD，EF⊄平面BCD，

BD⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD.故选B.

4．(2019·青岛二模)已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则α∥β的一个充分条件是(　D　)

A．m∥α，m∥β

B．α⊥γ，β⊥γ

C．m⊂α，n⊂β，m∥n

D．m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α

[解析]　A中，α，β可能相交，故错误；B不正确，如正方体中过同一个顶点的三个平面的关系；C中α，β可能相交，故错误；根据直线与平面平行的性质定理及平面与平面平行的判定定理可知D正确．

5．(2019·山东泰安期末)有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是(　A　)

A．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n

B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n

C．m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n

D．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n

[解析]　对于A，由m⊥α，n∥β，且α∥β得m⊥n，故正确；对于B，由m⊥α，n⊥β，α⊥β得m⊥n，故错误；对于C，由m∥α，n⊥β，且α⊥β得m∥n或m，n相交或异面，故错误；对于D，由m∥α，n∥β，且α∥β得m，n的关系可以是相交或平行或异面，故错误．故选A.

6．若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面(　B　)

A．不存在　　 B．零个或一个

C．可以有两个　　 D．有无数多个

[解析]　记a与P所确定的平面为α，当b∥α时，与a，b均平行的平面不存在，当b不平行α时，与a，b均平行的平面有一个，故选B.

7．(2019·衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上—点，当PA∥平面EBF时，＝(　D　)

A．　 B．　

C．　 D．

[解析]　

连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.因为AD∥BC，AD＝BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.

8．(2017·课标全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　A　)

[解析]　B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.

二、多选题

9．已知平面α∥β，点A，C∈α，B，D∈β，直线AB与直线CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，则CS的长可能为(　AC　)

A．16　 B．18　

C．272　 D．252

[解析]　本题主要考查两平面平行的性质定理．①当点S在两平行平面之间时，如图1所示，∵直线AB与直线CD交于点S，直线AB与直线CD可确定一个平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，∴＝，即＝，得＝，解得CS＝16.②当点S在两平行平面的同侧时，如图2所示，由①知AC∥BD，则有＝，即＝，解得CS＝272.故选AC.

10．(2020·山东乐陵一中模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有(　AD　)

A．直线A1B　　 B．直线BB1

C．平面A1DC1　　 D．平面A1BC1

[解析]　如图，

A1B∥D1C，又A1B⊄平面ACD1，

∴A1B∥平面ACD1，A正确；

BB1与平面ACD1相交，B错误；

DC1与CD1相交，∴平面ACD1与平面A1DC1相交，C错误；∵A1C1∥AC，A1C1⊄平成ACD1，

∴A1C1∥平面ACD1，又A1B∩A1C1＝A，

∴平面ACD1∥平面ABC1，D正确；

故选AD.

11．(2020·安徽安庆模拟改编)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1，A1D1、BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则下列四个说法中正确的是(　BC　)

A．MN∥平面APC　　 B．C1Q∥平面APC

C．A、P、M三点共线　　 D．平面MNQ∥平面APC

[解析]　A．连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM、CN，

易得AM、CN交于点P，即MN⊂平面APC，

所以MN∥平面APC是错误的；

B．由A知M、N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，

所以C1Q∥平面APC是正确的；

C．由A知，A，P，M三点共线是正确的；

D．由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，

所以平面MNQ∥平面APC是错误的．故选B、C.

三、填空题

12．(2019·桂林二模)已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①a∥b，b∥c⇒a∥c；②a∥α，b∥α⇒a∥b；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是__①④__.(写出所有正确命题的序号)

[解析]　根据线线平行的传递性，可知①正确；若a∥α，b∥α，则a，b可能平行、相交、异面，故②不正确；若a∥α，β∥α，则a∥β或a⊂β，故③不正确；由线面平行的判定定理可知④正确．故正确的命题是①④.

13.

如图所示，在正四棱柱

ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件__点M在线段FH上(或点M与点H重合)__时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

[解析]　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，

∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，

则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.

四、解答题

14．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，E，F分别是棱AD，PC的中点．证明：EF∥平面PAB.

[解析]　证明：如图，取PB的中点M，连接MF，AM.

因为F为PC的中点，

故MF∥BC且MF＝BC.

由已知有BC∥AD，BC＝AD.

因为E为AD的中点，

即AE＝AD＝BC，

所以MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.

又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，

所以EF∥平面PAB.

注：本题也可取BC的中点H，通过证平面EFH∥平面PAB得结论；也可连CE并延长交BA的延长线于H，证EF∥PH即可．

15．(2020·四省八校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，点M在线段PC上，PD＝BD＝BC＝，N是线段PB的中点，且三棱锥M－BCD的体积是四棱锥P－ABCD的体积的.

(1)若H是PM的中点，证明：平面ANH∥平面BDM；

(2)若PD⊥平面ABCD，求点D到平面BCM的距离．

[解析]　(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OM，

由题可知：由VM－DCD＝VP－ABCD可知：MC＝PC，

则MC＝HC，所以OM∥AH，

且NH∥BM，且AH∩NH＝H，

所以平面ANH∥平面MDB.

(2)由题可知，M到平面BCD的距离为，VM－BCD＝，

在Rt△PDC中，PD＝CD＝，∴PC＝，

在△PBC中，由余弦定理可知：cos∠PCB＝，

sin∠PCB＝，

在△BCM中，CM＝，BC＝，

设点D到平面BCM的距离为h，

则VM－DCD＝VD－DCM＝⇒h＝，

所以点D到平面BCM的距离为.

16．(2019·合肥质检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．

(1)求证：平面BDM∥平面EFC；

(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．

[解析]　(1)证明：如图，连AC，设AC与BD交于点N，

则N为AC的中点，连接MN，

又M为棱AE的中点，

∴MN∥EC.

∵MN⊄平面EFC，

EC⊂平面EFC，

∴MN∥平面EFC.

∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，

∴BF∥DE且BF＝DF，

∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.

∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC.

又MN∩BD＝N，MN，BD⊂平面BDM，

∴平面BDM∥平面EFC.

(2)连接EN，FN.

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.

又BF∩BD＝B，

BF，BD⊂平面BDEF，

∴AC⊥平面BDFF，

又N是AC的中点，

∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，

∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2××AN×S△NEF＝2×××××2＝，∴三棱锥A－CEF的体积为.

B组能力提升

1．(2019·安徽滁州期末)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是(　B　)

A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n

B．若m⊂α，α∥β，则m∥β

C．若n⊥β，α⊥β，则n∥α

D．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β

2．(2019·甘肃兰州诊断)已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要条件是(　D　)

A．m∥α，n∥α　　 B．m⊥α，n⊥α

C．m∥α，n⊂α　　 D．m，n与平面α成等角

[解析]　A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面内，必要性不成立；D中，m，n平行，则m，n与α成的角一定相等，但反之如果两直线m，n与α成的角相等则不一定平行，所以是必要不充分条件，故选D.

3．(多选题)(2020·宜昌调研)如图，在棱长均相等的四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是(　ABC　)

A．PC∥平面OMN

B．平面PCD∥平面OMN

C．OM⊥PA

D．直线PD与MN所成角的大小为90°

[解析]　

如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论A正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论B正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论C正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，所以直线PD与MN所成的角即∠PDC，故D错误．故正确的结论为A、B、C.

4.

(2019·江西吉安一模)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　B　)

A．　　 B．

C.　　 D．

[解析]　如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，

所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM⊄平面BDFE.

所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，

所以平面AMN∥平面BDFE，所以平面BDFE为平面α，

BD＝，EF＝B1D1＝，DF＝BE＝，

等腰梯形BDFE如图2，

过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，

∴FG＝＝＝，

故所得截面的面积为×(＋)×＝，故选B.

5．(2019·湖北荆州第八次模拟)已知：如图，在四棱锥P－ABCD中，△BCD为等边三角形，BD＝2，PA＝，AB＝AD＝PB＝PD，∠BAD＝120°.

(1)若点E为PC的中点，求证：BE∥平面PAD；

(2)求四棱锥P－ABCD的体积．

[解析]　(1)证明：取CD的中点M，连接EM，BM.

∵△BCD为等边三角形，∴BM⊥CD.

∵∠BAD＝120°，AD＝AB，

∴∠ADB＝30°，∴∠ADC＝90°，

∴AD⊥CD，∴BM∥AD.

又∵BM⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BM∥平面PAD.

∵E为PC的中点，M为CD的中点，

∴EM∥PD.

又∵EM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，

∴EM∥平面PAD.

∵EM∩BM＝M，∴平面BEM∥平面PAD.

又∵BE⊂平面BEM，∴BE∥平面PAD.

(2)连接AC交BD于O，连接PO.

∵CB＝CD，AB＝AD，

∴AC⊥BD，O为BD的中点．

又∵∠BAD＝120°，BD＝2，

△PBD≌△ABD，∴AO＝PO＝1.又∵PA＝，

∴PA2＝PO2＋OA2，∴PO⊥OA.

又∵PO⊥BD，BD∩OA＝O，

∴PO⊥平面ABD，即四棱锥P－ABCD的高为PO＝1，

∴四棱锥P－ABCD的体积为V＝×[×(2)2＋×2×1]×1＝.