（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（36）第五章数列第四讲数列求和（含解析）

 [练案36]第四讲　数列求和

A组基础巩固

一、单选题

1．(2020·湖北武汉部分重点中学联考)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－1)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　A　)

A．15　 B．12　

C．－12　 D．－15

[解析]　依题意，得a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)＝－(2＋8＋…＋26)＋(5＋11＋…＋29)＝－×5＋×5＝－70＋85＝15，故选A.

2．(2020·河北保定摸底)已知数列{an}的通项公式为an＝nsin (π)＋1，前n项和为Sn，则S2 017＝(　C　)

A．1 232　 B．3 019　

C．3 025　 D．4 321

[解析]　∵an＝nsin (π)＋1，∴a1＝1×0＋1，a2＝2×(－1)＋1，a3＝3×0＋1，a4＝4×1＋1，…，a2 017＝2 017×0＋1，∴S2 017＝2 017×1＋(－2＋4－6＋8＋…＋2 016)＝2 017＋504×2＝3 025.故选C.

3．(2020·山西河津二中月考)已知数列{an}为，＋，＋＋，＋＋＋，…，若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn为(　A　)

A．　　 B．

C.　　 D．

[解析]　∵an＝＝，∴bn＝＝4(－)，∴Sn＝4(1－)＝.故选A.

4．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是(　D　)

A．2n＋1＋n－2　　 B．2n＋1－n＋2

C．2n－n－2　　 D．2n＋1－n－2

[解析]　因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1①，2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n②，所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.

5．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

(1)构造数列1，，，，…，；①

(2)将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，an.

则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　C　)

A．　　 B．

C.　　 D．

[解析]　依题意可得新数列为，，，…，×，

所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝[＋＋…＋]

＝(1－＋－＋…＋－)

＝×＝.故选C.

6．(2020·云南玉溪一中月考)数列{an}首项a1＝1，对于任意m，n∈N*，有an＋m＝an＋3m，则{an}前5项和S5＝(　D　)

A．121　 B．25　

C．31　 D．35

[解析]　由题意知an＋1＝an＋3，∴{an}是首项为1公差为3的等差数列，a5＝a1＋12＝13，∴S5＝＝35.故选D.

二、多选题

7．已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足an＋4SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝，则下列说法正确的是(　AD　)

A．Sn＝

B．an＝

C．{an}为递增数列

D．数列{}为递增数列

[解析]　∵an＋4SnSn－1＝0，∴Sn－Sn－1＋4SnSn－1＝0，

∴－＝4，

∴{}是以＝4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，D正确．

∴＝4n，∴Sn＝，A正确．

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－

当n＝1时，a1＝，∴B、C不正确，故选A、D.

8．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律：，，，，，，，，，，…，，，…，以下说法正确的是(　ACD　)

A．a24＝

B．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列

C．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝

D．若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝

[解析]　对于选项A，a22＝，a23＝，a24＝，故A正确．对于选项B、C，数列，1，，2…等差数列，Tn＝，故B错，C正确．对于选项D，S21>10，S20<10，a20＝，正确．故选A、C、D.

三、填空题

9.＋＋＋…＋＝　－(＋)　

[解析]　∵＝＝＝(－)，

∴＋＋＋…＋

＝(1－＋－＋－＋…＋－)

＝(－－)

＝－(＋)．

10．(2020·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项之和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则S10＝__1_078__.　

[解析]　a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1⇒an＋1－an＝2n－1＋1⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1⇒an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋n－1＋a1.

＝＋n－1＋2＝2n－1＋n.

S10＝1＋2＋22＋…＋29＋＝1 078.

11．(2020·广东省五校协作体高三第一次联考)已知数列{an}满足：a1为正整数，an＋1＝如果a1＝1，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝__4_709__.

[解析]　由已知得a1＝1，a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝4，a6＝2，周期为3的数列，a1＋a2＋…＋a2 018＝(1＋4＋2)×672＋1＋4＝4 709.

12．(2020·福建省泉州市教学质量跟踪监测)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问依次一尺各重几何？”其意思是：“现有一根金杖(一头粗，一头细)长五尺，在粗的一端截下1尺，重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问该金箠的总重量为__15__斤．

[解析]　由题意知，金箠的5段重量构成以4为首项，2为末项的等差数列，则总重量S＝×5＝15(斤)．

三、解答题

13．(2020·吉林省长春汽车经济开发区第六中学考试)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足bn＝，若数列{bn}前n项和Tn，证明：Tn<.

[解析]　(1)由题意知：

⇒

解得a1＝d＝2，故数列an＝2n.

(2)由(1)可知bn＝＝(－)，

则Tn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)<.

14．(2020·云南省红河州高三复习统一检测)等差数列{an}的首项a1>0，数列{}的前n项和为Sn＝.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解析]　(1)由{}的前n项和为Sn＝知

可得

设等差数列{an}的公差为d，

从而解得或，

又a1>0，则，

故an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.

(2)由(1)知bn＝(an＋1)·2an＝2n·22n－1＝n·4n，

则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，

两边同时乘以4得4Tn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，

两式相减得－3Tn＝41＋42＋43＋44＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1，

故Tn＝＋·4n＋1.

B组能力提升

1．(2020·益阳、湘潭调研考试)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则＋＋…＋的值是(　B　)

A．　 B．　

C．　 D．

[解析]　由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.bn＝log2an＝当n≥2时，＝＝－，所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.故选B.

2．(2020·银川一中模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝(　A　)

A．2＋lnn　　 B．2＋(n－1)lnn

C．2＋nlnn　　 D．1＋n＋lnn

[解析]　由已知条件得a2＝a1＋ln2，a3＝a2＋ln，a4＝a3＋ln，…，an＝an－1＋ln，得an＝a1＋ln2＋ln＋ln＋…＋ln＝2＋ln(2×××…×)＝2＋lnn，故选A.

3．(2020·福建省宁德市高三上学期质量检测)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”若当地风俗正月初二都要回娘家，且回娘家当天均返回夫家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有(　C　)

A．58　 B．59　

C．60　 D．61

[解析]　小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：35＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.

4．(2020·湖北省稳派教育高三上学期第二次联考)“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为Sn，设a2 018＝t(t为常数)，则S2 016＋S2 015－S2 014－S2 013＝__t__(用t表示)．

[解析]　S2 016＋S2 015－S2 014－S2 013＝a2 016＋a2 015＋a2 015＋a2 014＝a2 017＋a2 016＝a2 018＝t.

5．(2020·山东省济南市历城第二中学高三模拟考试)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)令cn＝，设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n.

[解析]　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，

得，解得.

∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.

(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)，

则n为奇数，cn＝＝－，

n为偶数，cn＝2n－1.

∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)

＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＋(2＋23＋…＋22n－1)

＝1－＋＝＋(4n－1)．