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2019-2020学年湖北省黄石市大冶市七年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年湖北省黄石市大冶市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（3分）计算的结果为（ ）
A．6 B．﹣6 C．18 D．﹣18
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a3）2＝a6 D．a8÷a4＝a2
5．（3分）蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省材料，其厚度约为0.000073米．将0.000073用科学记数法表示为（ ）
A．0.73×10﹣4 B．7.3×10﹣4 C．7.3×10﹣5 D．7.3×105
6．（3分）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
7．（3分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．50° D．30°
8．（3分）下列调查中，适合普查方法的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命
B．了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率
C．了解全国中学生体重情况
D．了解北京电视台《红绿灯》栏目的收视率
9．（3分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6＜m≤7 D．3≤m＜4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）与﹣π最接近的整数是 ．
12．（3分）已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是 ．
13．（3分）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1＝ ．
14．（3分）已知方程组的解满足x+y＝2，则k的值为 ．
15．（3分）已知实数a满足|2018﹣a|+＝a，那么a﹣20182+1的值是 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点A1（1，1），A2（2，4），A3（3，9），A4（4，16），…，用你发现的规律确定点A9的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（7分）计算：﹣12018+﹣|1﹣|+﹣
18．（7分）解方程组
．
19．（7分）求不等式组的整数解．
20．（8分）已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣
21．（8分）某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了 调查方式，样本容量是 ．
（2）图2中C的圆心角度数为 度，补全图1的频数分布直方图．
（3）该校有900名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数．
22．（8分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
23．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲
乙
进价（元/件）
14
35
售价（元/件）
20
43
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
24．（9分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．
如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．
（1）填空：T（4，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6．
①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），求m的值．
25．（10分）如图1，在三角形ABC中，D是BC上一点，且∠CDA＝∠CAB．（注：三角形内角和等于180°）
（1）求证：∠CDA＝∠DAB+∠DBA；
（2）如图2，MN是经过点D的一条直线，若直线MN交AC边于点E，且∠CDE＝∠CAD．
求证：∠AED+∠EAB＝180°；
（3）将图2中的直线MN绕点D旋转，使它与射线AB交于点P（点P不与点A，B重合）．在图3中画出直线MN，并用等式表示∠CAD，∠BDP，∠BPD这三个角之间的数量关系，不需证明．
2019-2020学年湖北省黄石市大冶市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
【解答】解：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴该点在第四象限．
故选：D．
2．（3分）一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．
【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
3．（3分）计算的结果为（ ）
A．6 B．﹣6 C．18 D．﹣18
【分析】根据算术平方根的定义计算即可求解．
【解答】解：＝6．
故选：A．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a3）2＝a6 D．a8÷a4＝a2
【分析】根据整式的运算法则逐一计算即可得．
【解答】解：A、a2、a3不能合并，此选项错误；
B、a2•a3＝a5，此选项错误；
C、（a3）2＝a6，此选项正确；
D、a8÷a4＝a4，此选项错误；
故选：C．
5．（3分）蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省材料，其厚度约为0.000073米．将0.000073用科学记数法表示为（ ）
A．0.73×10﹣4 B．7.3×10﹣4 C．7.3×10﹣5 D．7.3×105
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000073＝7.3×10﹣5．
故选：C．
6．（3分）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴5＜＜6，0＜＜1
∴a＝3+﹣5＝﹣2．b＝3﹣，
∴a+b＝﹣2+3﹣＝1，
故选：B．
7．（3分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．50° D．30°
【分析】先根据∠1＝60°，∠FEG＝90°，求得∠3＝30°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数．
【解答】解：如图，∵∠1＝60°，∠FEG＝90°，
∴∠3＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝30°．
故选：D．
8．（3分）下列调查中，适合普查方法的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命
B．了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率
C．了解全国中学生体重情况
D．了解北京电视台《红绿灯》栏目的收视率
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故A错误；
B、了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率，调查范围小，适合普查，故B正确；
C、了解全国中学生体重情况，调查范围广，适合抽样调查，故C错误；
D、了解北京电视台《红绿灯》栏目的收视率，调查范围广，适合抽样调查，故D错误；
故选：B．
9．（3分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别利用有35名学生以及购票恰好用去750元，得出等式求出答案．
【解答】解：设买了x张甲种票，y张乙种票，根据题意可得：
．
故选：B．
10．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6＜m≤7 D．3≤m＜4
【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有4个整数解即可求得m的范围．
【解答】解：，
解①得x＜m，
解②得x≥3．
则不等式组的解集是3≤x＜m．
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的整数解是3，4，5，6．
∴6＜m≤7．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）与﹣π最接近的整数是 ﹣3 ．
【分析】根据﹣π的近似值解答即可．
【解答】解：∵﹣π≈﹣3.14，
∴与﹣π最接近的整数是﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（3分）已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是 60° ．
【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，表示出余角和补角，然后列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则补角为（180°﹣x），余角为（90°﹣x），
由题意得，4（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝60，即这个角为60°．
故答案为：60°．
13．（3分）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1＝ 134° ．
【分析】过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
【解答】解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，
∵∠C＝44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，
∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，
故答案为：134°．
14．（3分）已知方程组的解满足x+y＝2，则k的值为 2 ．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入x+y＝2中求出k的值即可．
【解答】解：，
①+②得：3（x+y）＝k+4，即x+y＝，
代入x+y＝2中得：k+4＝6，
解得：k＝2，
故答案为：2
15．（3分）已知实数a满足|2018﹣a|+＝a，那么a﹣20182+1的值是 2020 ．
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质得出a的值，再将原式变形得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴a﹣2019≥0，
解得：a≥2019，
∵|2018﹣a|+＝a，
∴a﹣2018+＝a，
故＝2018，
∴a﹣2019＝20182，
∴a﹣20182+1＝a﹣（a﹣2019）+1＝2020．
故答案为：2020．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点A1（1，1），A2（2，4），A3（3，9），A4（4，16），…，用你发现的规律确定点A9的坐标为 （9，81） ．
【分析】首先观察各点坐标，找出一般规律，然后根据规律确定点A9的坐标．
【解答】解：设An（x，y）．
∵当n＝1时，A1（1，1），即x＝1，y＝12；
当n＝2时，A2（2，4），即x＝2，y＝22；
当n＝3时，A3（3，9），即x＝3，y＝32；
当n＝4时，A4（4，16），即x＝4，y＝42；
…
∴当n＝9时，x＝9，y＝92，即A9（9，81）．
故答案为：（9，81）．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（7分）计算：﹣12018+﹣|1﹣|+﹣
【分析】直接利用二次根式以及立方根的定义和绝对值的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+5﹣（﹣1）﹣2﹣3
＝4﹣+1﹣2﹣3
＝﹣．
18．（7分）解方程组
．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
①﹣②×2得：x＝﹣1，
把x＝10代入②得：y＝5，
则方程组的解为．
19．（7分）求不等式组的整数解．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
∴不等式组的整数解是﹣1、0、1．
20．（8分）已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣
【分析】先根据数轴判断出a＜0、a+b＜0、﹣a＞0、b﹣＜0，再利用绝对值的性质和二次根式的性质化简即可得．
【解答】解：由数轴可知a＜b＜0，且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∵＞0，
∴﹣a＞0、b﹣＜0，
则原式＝|a|﹣（a+b）+﹣a﹣|b﹣|
＝﹣a﹣a﹣b+﹣a+（b﹣）
＝﹣3a﹣b++b﹣
＝﹣3a．
21．（8分）某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了 抽样 调查方式，样本容量是 50 ．
（2）图2中C的圆心角度数为 144 度，补全图1的频数分布直方图．
（3）该校有900名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数．
【分析】（1）根据抽样调查的概念求解可得，再由A时间段的人数及其所占百分比可得样本容量；
（2）用样本容量减去其它分组的人数求出C时间段的人数，再用360°乘以其人数占总人数的比例可得；
（3）用总人数乘以样本中平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数占总人数的比例即可得．
【解答】解：（1）本次调查活动采取了抽样调查方式，样本容量是4÷8%＝50，
故答案为：抽样，50；
（2）∵C时间段的人数为50﹣（4+8+16+2）＝20（人），
∴图2中C的圆心角度数为360°×＝144°，
补全条形图如下图所示：
故答案为：144；
（3）（名）
答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不小于50 min．
22．（8分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
【分析】依据同角的余角相等，即可得到∠3＝∠2，即可得出DE∥BC．
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠3＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠3＝∠2（同角的余角相等）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
23．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲
乙
进价（元/件）
14
35
售价（元/件）
20
43
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
【分析】1）等量关系为：甲件数+乙件数＝180；甲总利润+乙总利润＝1240．
（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜5040；甲总利润+乙总利润＞1312．
【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得：．
解得：．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（180﹣a）件．
根据题意得．
解不等式组，得60＜a＜64．
∵a为非负整数，∴a取61，62，63
∴180﹣a相应取119，118，117
方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件．
方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件．
方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件．
答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一．
24．（9分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．
如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．
（1）填空：T（4，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6．
①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），求m的值．
【分析】（1）把（4，﹣1）代入新运算中，计算得结果；
（2）①根据新运算规定和T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，得关于a、b的方程组，解方程组即可；
②把①中求得的a、b代入新运算，并对新运算进行化简，根据T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10）得关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）T（4，﹣1）＝
＝；
故答案为：；
（2）①∵T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，
∴
解得
②解法一：
∵a＝1，b＝﹣1，且x+y≠0，
∴T（x，y）＝＝＝x﹣y．
∴T（3m﹣10，m）＝3m﹣10﹣m＝2m﹣10，
T（m，3m﹣10）＝m﹣3m+10＝﹣2m+10．
∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），
∴2m﹣10＝﹣2m+10，
解得，m＝5．
解法二：由解法①可得T（x，y）＝x﹣y，
当T（x，y）＝T（y，x）时，
x﹣y＝y﹣x，
∴x＝y．
∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），
∴3m﹣10＝m，
∴m＝5．
25．（10分）如图1，在三角形ABC中，D是BC上一点，且∠CDA＝∠CAB．（注：三角形内角和等于180°）
（1）求证：∠CDA＝∠DAB+∠DBA；
（2）如图2，MN是经过点D的一条直线，若直线MN交AC边于点E，且∠CDE＝∠CAD．
求证：∠AED+∠EAB＝180°；
（3）将图2中的直线MN绕点D旋转，使它与射线AB交于点P（点P不与点A，B重合）．在图3中画出直线MN，并用等式表示∠CAD，∠BDP，∠BPD这三个角之间的数量关系，不需证明．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠B＝∠CDE，得到MN∥BA，根据平行线的性质证明；
（3）根据三角形的外角性质证明．
【解答】解：（1）∵∠C+∠CAD+∠ADC＝∠C+∠CAB+∠B＝180°，
∴∠CAD+∠ADC＝∠CAB+∠B，
∵∠CDA＝∠CAB，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝∠ABC+∠DAB，
∴∠CDA＝∠DAB+∠DBA；
（2）∵∠CDE＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CDE，
∴∠CDE＝∠CAD，又∠B＝∠CAD，
∴∴∠B＝∠CDE，
∴MN∥BA，
∴∠AED+∠EAB＝180°；
（3）∠CAD＝∠BDP+∠DPB
证明：由三角形的外角的性质可知，∠ABC＝∠BDP+∠DPB，
∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴∠ABC＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠BDP+∠DPB．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（3分）计算的结果为（ ）
A．6 B．﹣6 C．18 D．﹣18
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a3）2＝a6 D．a8÷a4＝a2
5．（3分）蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省材料，其厚度约为0.000073米．将0.000073用科学记数法表示为（ ）
A．0.73×10﹣4 B．7.3×10﹣4 C．7.3×10﹣5 D．7.3×105
6．（3分）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
7．（3分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．50° D．30°
8．（3分）下列调查中，适合普查方法的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命
B．了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率
C．了解全国中学生体重情况
D．了解北京电视台《红绿灯》栏目的收视率
9．（3分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6＜m≤7 D．3≤m＜4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）与﹣π最接近的整数是 ．
12．（3分）已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是 ．
13．（3分）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1＝ ．
14．（3分）已知方程组的解满足x+y＝2，则k的值为 ．
15．（3分）已知实数a满足|2018﹣a|+＝a，那么a﹣20182+1的值是 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点A1（1，1），A2（2，4），A3（3，9），A4（4，16），…，用你发现的规律确定点A9的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（7分）计算：﹣12018+﹣|1﹣|+﹣
18．（7分）解方程组
．
19．（7分）求不等式组的整数解．
20．（8分）已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣
21．（8分）某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了 调查方式，样本容量是 ．
（2）图2中C的圆心角度数为 度，补全图1的频数分布直方图．
（3）该校有900名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数．
22．（8分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
23．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲
乙
进价（元/件）
14
35
售价（元/件）
20
43
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
24．（9分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．
如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．
（1）填空：T（4，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6．
①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），求m的值．
25．（10分）如图1，在三角形ABC中，D是BC上一点，且∠CDA＝∠CAB．（注：三角形内角和等于180°）
（1）求证：∠CDA＝∠DAB+∠DBA；
（2）如图2，MN是经过点D的一条直线，若直线MN交AC边于点E，且∠CDE＝∠CAD．
求证：∠AED+∠EAB＝180°；
（3）将图2中的直线MN绕点D旋转，使它与射线AB交于点P（点P不与点A，B重合）．在图3中画出直线MN，并用等式表示∠CAD，∠BDP，∠BPD这三个角之间的数量关系，不需证明．
2019-2020学年湖北省黄石市大冶市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
【解答】解：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴该点在第四象限．
故选：D．
2．（3分）一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．
【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
3．（3分）计算的结果为（ ）
A．6 B．﹣6 C．18 D．﹣18
【分析】根据算术平方根的定义计算即可求解．
【解答】解：＝6．
故选：A．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a3）2＝a6 D．a8÷a4＝a2
【分析】根据整式的运算法则逐一计算即可得．
【解答】解：A、a2、a3不能合并，此选项错误；
B、a2•a3＝a5，此选项错误；
C、（a3）2＝a6，此选项正确；
D、a8÷a4＝a4，此选项错误；
故选：C．
5．（3分）蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省材料，其厚度约为0.000073米．将0.000073用科学记数法表示为（ ）
A．0.73×10﹣4 B．7.3×10﹣4 C．7.3×10﹣5 D．7.3×105
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000073＝7.3×10﹣5．
故选：C．
6．（3分）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴5＜＜6，0＜＜1
∴a＝3+﹣5＝﹣2．b＝3﹣，
∴a+b＝﹣2+3﹣＝1，
故选：B．
7．（3分）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．50° D．30°
【分析】先根据∠1＝60°，∠FEG＝90°，求得∠3＝30°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数．
【解答】解：如图，∵∠1＝60°，∠FEG＝90°，
∴∠3＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝30°．
故选：D．
8．（3分）下列调查中，适合普查方法的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命
B．了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率
C．了解全国中学生体重情况
D．了解北京电视台《红绿灯》栏目的收视率
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故A错误；
B、了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率，调查范围小，适合普查，故B正确；
C、了解全国中学生体重情况，调查范围广，适合抽样调查，故C错误；
D、了解北京电视台《红绿灯》栏目的收视率，调查范围广，适合抽样调查，故D错误；
故选：B．
9．（3分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别利用有35名学生以及购票恰好用去750元，得出等式求出答案．
【解答】解：设买了x张甲种票，y张乙种票，根据题意可得：
．
故选：B．
10．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6＜m≤7 D．3≤m＜4
【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有4个整数解即可求得m的范围．
【解答】解：，
解①得x＜m，
解②得x≥3．
则不等式组的解集是3≤x＜m．
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的整数解是3，4，5，6．
∴6＜m≤7．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）与﹣π最接近的整数是 ﹣3 ．
【分析】根据﹣π的近似值解答即可．
【解答】解：∵﹣π≈﹣3.14，
∴与﹣π最接近的整数是﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（3分）已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是 60° ．
【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，表示出余角和补角，然后列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则补角为（180°﹣x），余角为（90°﹣x），
由题意得，4（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝60，即这个角为60°．
故答案为：60°．
13．（3分）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1＝ 134° ．
【分析】过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
【解答】解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，
∵∠C＝44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，
∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，
故答案为：134°．
14．（3分）已知方程组的解满足x+y＝2，则k的值为 2 ．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入x+y＝2中求出k的值即可．
【解答】解：，
①+②得：3（x+y）＝k+4，即x+y＝，
代入x+y＝2中得：k+4＝6，
解得：k＝2，
故答案为：2
15．（3分）已知实数a满足|2018﹣a|+＝a，那么a﹣20182+1的值是 2020 ．
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质得出a的值，再将原式变形得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴a﹣2019≥0，
解得：a≥2019，
∵|2018﹣a|+＝a，
∴a﹣2018+＝a，
故＝2018，
∴a﹣2019＝20182，
∴a﹣20182+1＝a﹣（a﹣2019）+1＝2020．
故答案为：2020．
16．（3分）在平面直角坐标系中，点A1（1，1），A2（2，4），A3（3，9），A4（4，16），…，用你发现的规律确定点A9的坐标为 （9，81） ．
【分析】首先观察各点坐标，找出一般规律，然后根据规律确定点A9的坐标．
【解答】解：设An（x，y）．
∵当n＝1时，A1（1，1），即x＝1，y＝12；
当n＝2时，A2（2，4），即x＝2，y＝22；
当n＝3时，A3（3，9），即x＝3，y＝32；
当n＝4时，A4（4，16），即x＝4，y＝42；
…
∴当n＝9时，x＝9，y＝92，即A9（9，81）．
故答案为：（9，81）．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（7分）计算：﹣12018+﹣|1﹣|+﹣
【分析】直接利用二次根式以及立方根的定义和绝对值的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+5﹣（﹣1）﹣2﹣3
＝4﹣+1﹣2﹣3
＝﹣．
18．（7分）解方程组
．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
①﹣②×2得：x＝﹣1，
把x＝10代入②得：y＝5，
则方程组的解为．
19．（7分）求不等式组的整数解．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
∴不等式组的整数解是﹣1、0、1．
20．（8分）已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣
【分析】先根据数轴判断出a＜0、a+b＜0、﹣a＞0、b﹣＜0，再利用绝对值的性质和二次根式的性质化简即可得．
【解答】解：由数轴可知a＜b＜0，且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∵＞0，
∴﹣a＞0、b﹣＜0，
则原式＝|a|﹣（a+b）+﹣a﹣|b﹣|
＝﹣a﹣a﹣b+﹣a+（b﹣）
＝﹣3a﹣b++b﹣
＝﹣3a．
21．（8分）某校为了解学生的课外阅读情况，对部分学生进行了调查，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了 抽样 调查方式，样本容量是 50 ．
（2）图2中C的圆心角度数为 144 度，补全图1的频数分布直方图．
（3）该校有900名学生，估计该校学生平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数．
【分析】（1）根据抽样调查的概念求解可得，再由A时间段的人数及其所占百分比可得样本容量；
（2）用样本容量减去其它分组的人数求出C时间段的人数，再用360°乘以其人数占总人数的比例可得；
（3）用总人数乘以样本中平均每天的课外阅读时间不少于50min的人数占总人数的比例即可得．
【解答】解：（1）本次调查活动采取了抽样调查方式，样本容量是4÷8%＝50，
故答案为：抽样，50；
（2）∵C时间段的人数为50﹣（4+8+16+2）＝20（人），
∴图2中C的圆心角度数为360°×＝144°，
补全条形图如下图所示：
故答案为：144；
（3）（名）
答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不小于50 min．
22．（8分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
【分析】依据同角的余角相等，即可得到∠3＝∠2，即可得出DE∥BC．
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠3＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠3＝∠2（同角的余角相等）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
23．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲
乙
进价（元/件）
14
35
售价（元/件）
20
43
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
【分析】1）等量关系为：甲件数+乙件数＝180；甲总利润+乙总利润＝1240．
（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜5040；甲总利润+乙总利润＞1312．
【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得：．
解得：．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件．
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（180﹣a）件．
根据题意得．
解不等式组，得60＜a＜64．
∵a为非负整数，∴a取61，62，63
∴180﹣a相应取119，118，117
方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件．
方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件．
方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件．
答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一．
24．（9分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．
如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．
（1）填空：T（4，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6．
①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），求m的值．
【分析】（1）把（4，﹣1）代入新运算中，计算得结果；
（2）①根据新运算规定和T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，得关于a、b的方程组，解方程组即可；
②把①中求得的a、b代入新运算，并对新运算进行化简，根据T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10）得关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）T（4，﹣1）＝
＝；
故答案为：；
（2）①∵T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，
∴
解得
②解法一：
∵a＝1，b＝﹣1，且x+y≠0，
∴T（x，y）＝＝＝x﹣y．
∴T（3m﹣10，m）＝3m﹣10﹣m＝2m﹣10，
T（m，3m﹣10）＝m﹣3m+10＝﹣2m+10．
∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），
∴2m﹣10＝﹣2m+10，
解得，m＝5．
解法二：由解法①可得T（x，y）＝x﹣y，
当T（x，y）＝T（y，x）时，
x﹣y＝y﹣x，
∴x＝y．
∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），
∴3m﹣10＝m，
∴m＝5．
25．（10分）如图1，在三角形ABC中，D是BC上一点，且∠CDA＝∠CAB．（注：三角形内角和等于180°）
（1）求证：∠CDA＝∠DAB+∠DBA；
（2）如图2，MN是经过点D的一条直线，若直线MN交AC边于点E，且∠CDE＝∠CAD．
求证：∠AED+∠EAB＝180°；
（3）将图2中的直线MN绕点D旋转，使它与射线AB交于点P（点P不与点A，B重合）．在图3中画出直线MN，并用等式表示∠CAD，∠BDP，∠BPD这三个角之间的数量关系，不需证明．
【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠B＝∠CDE，得到MN∥BA，根据平行线的性质证明；
（3）根据三角形的外角性质证明．
【解答】解：（1）∵∠C+∠CAD+∠ADC＝∠C+∠CAB+∠B＝180°，
∴∠CAD+∠ADC＝∠CAB+∠B，
∵∠CDA＝∠CAB，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝∠ABC+∠DAB，
∴∠CDA＝∠DAB+∠DBA；
（2）∵∠CDE＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CDE，
∴∠CDE＝∠CAD，又∠B＝∠CAD，
∴∴∠B＝∠CDE，
∴MN∥BA，
∴∠AED+∠EAB＝180°；
（3）∠CAD＝∠BDP+∠DPB
证明：由三角形的外角的性质可知，∠ABC＝∠BDP+∠DPB，
∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴∠ABC＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠BDP+∠DPB．
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