数学八年级上册14.3.2 公式法精品课件ppt

这是一份数学八年级上册14.3.2 公式法精品课件ppt，共58页。PPT课件主要包含了平方差公式，整体思想，完全平方公式等内容，欢迎下载使用。

如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2– b2=(a+b)(a–b)
1. 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
用平方差公式进行因式分解
多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a，b两数的平方差的形式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
两数是平方，减号在中央．
(x+5y)(x–5y)
a2 – b2 =
利用平方差公式分解因式的应用
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
1.分解因式：(1)(a＋b)2–4a2； (2)9(m＋n)2–(m–n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)
＝(b–a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2
＝(x2+y2)(x2–y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x–y);
(2)原式＝ab(a2–1)
＝ab(a+1)(a–1).
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
2. 分解因式：(1)5m2a4–5m2b4； (2)a2–4b2–a–2b.
＝(a＋2b)(a–2b–1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；
解：(1)原式＝5m2(a4–b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
联立①②组成二元一次方程组，
利用因式分解求整式的值
方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
3.已知x–y=2，x2–y2=8，求x+y的值.
例4 计算下列各题：(1)1012–992； (2)53.52×4–46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；
(2)原式＝4(53.52–46.52)
＝ 4(53.5＋46.5)(53.5–46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
利用因式分解进行简便运算
4.用平方差公式进行简便计算:(1)38²–37² (2)213²–87²(3)229²–171² (4)91×89
解：(1) 38²–37²=(38+37)(38–37)=75
(2) 213²–87²=(213+87)(213–87)=300×126=37800
(3) 229²–171²=(229+171)(229–171)=400×58=23200
(4) 91×89=(90+1)(90–1)=90²–1=8100–1=8099
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
5. 若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.
解：∵a2–2bc=c2–2ab， ∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0，∴(a–c)(a+c+2b)=0.∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，∴这个三角形是等腰三角形.
分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.
1. 多项式4a–a3分解因式的结果是(　　)A．a(4–a2) B．a(2–a)(2+a)C．a(a–2)(a+2) D．a(2–a)2
2. 若a+b=4，a–b=1，则(a+1)2–(b–1)2的值为　 　．
解析：∵a+b=4，a–b=1，∴(a+1)2–(b–1)2=(a+1+b–1)(a+1–b+1)=(a+b)(a–b+2) =4×(1+2)=12．
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)A．a2＋(–b)2 B．5m2–20mnC．–x2–y2 D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是(　　)A．x(x2–1) B．x(1–x2)C．x(x+1)(x–1) D．x(1+x)(1–x)
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(　　)
A．–21 B．21 C．–10 D．10
4.把下列各式分解因式：(1)16a2–9b2=_________________; (2)(a+b)2–(a–b)2=_________________; (3) 因式分解：2x2–8=_________________; (4) –a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a–3b)
(4+a2)(2+a)(2–a)
5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_____________.
2(x+2)(x–2)
1. 已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．
原式= – 40×5= –200．
解：原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n)
=(4m+n)(3n – 2m)
= –(4m+n)(2m – 3n)，
当4m+n=40，2m–3n=5时，
2.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
6.82–4×1.62
＝6.82– (2×1.6)2
＝(6.8＋3.2)(6.8 – 3.2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
(1)992–1能否被100整除吗？
解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98，
所以，(2n+1)2–25能被4整除.
(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
所以992–1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)
=(2n+6)(2n–4)
=2(n+3) ×2(n–2)=4(n+3)(n–2).
a2–b2=(a+b)(a–b)
一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式．
1. 理解完全平方公式的特点．
3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
用完全平方公式分解因式
(a±b)2=a2±2ab+b2
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
这个大正方形的面积可以怎么求？
将上面的等式倒过来看，能得到：
我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
(1)每个多项式有几项？
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )²
2.m²–6m+9=( )² – 2· ( ) ·( )+( )² =( )²
1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
下列各式是不是完全平方式？ (1)a2–4a+4; (2)1+4a²; (3)4b2+4b–1; (4)a2+ab+b2; (5)x2+x+0.25.
4b²与–1的符号不统一；
ab不是a与b的积的2倍.
例1 分解因式：(1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3²，24x=2·4x·3， 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ (3)2.
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
利用完全平方公式分解因式
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2)
=–(x–2y)2.
1. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12xy+36y2. (2)16a4+24a2b2+9b4.
解：(1)x2–12xy+36y2 =x2–2·x·6y+(6y)2 =(x–6y)2.
(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2.
(3)–2xy–x2–y2. (4)4–12(x–y)+9(x–y)2.
解：(3)–2xy–x2–y2 = –(x2+2xy+y2) = –(x+y)2.
(4)4–12(x–y)+9(x–y)2 =22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2 =［2–3(x–y)］2 =(2–3x+3y)2.
例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( ) A . 11 B. 9 C. –11 D. –9
解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.
利用完全平方公式求字母的值
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
2. 如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.
例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2–12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62 =(a+b–6)2.
利用完全平方公式进行较复杂的因式分解
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
3.因式分解：(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)
解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)
＝–3a2(x–4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2
＝(a＋2)2(a–2)2.
例4 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002–2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100–99)²
(2)原式＝(34＋16)2
利用完全平方公式进行简便运算
4. 计算: 7652×17–2352 ×17. 解：7652×17–2352 ×17 =17 ×(7652 –2352) =17 ×(765+235)(765 –235) =17 ×1 000 ×530=9010000.
例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.
提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.
利用完全平方公式和非负性求字母的值
解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0 即(a+1)2+(b–2)2=0 ∴ 2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7
方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．
5. 已知x2–4x＋y2–10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2–4x＋y2–10y＋29＝0，
∴(x–2)2＋(y–5)2＝0.
∵(x–2)2≥0，(y–5)2≥0，
∴x–2＝0，y–5＝0，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
1. 因式分解：a2–2ab+b2= 　．
2. 若a+b=2，ab=–3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
解析：∵a+b=2，ab= –3，∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)， =ab(a+b)2， = –3×4= –12．
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2–6a＋9 C．x2＋5y D．x2–5y
2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是( )A．4xy(x–y)–x3 B．–x(x–2y)2C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．
4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．
5. 把下列多项式因式分解. (1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1–x2;
(2)原式=[2(2a+b)]² – 2·2(2a+b)·1+(1)²=(4a+2b– 1)2;
解：(1)原式=x2–2·x·6+(6)2=(x–6)2;
(3)原式=(y+1)² –x²=(y+1+x)(y+1–x).
解：(1)原式＝(38.9–48.9)2
2. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2) 小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2
(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.
当a–b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　当ab＝2，a＋b＝5时，
a2±2ab+b2=(a±b)2
(1)要求多项式有三项.(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.