初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程教学设计及反思

这是一份初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程教学设计及反思，共7页。教案主要包含了知识储备，当堂小测，课后作业等内容，欢迎下载使用。

第21.1讲---一元二次方程
初中数学
年级
九年级
重难点
1、一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．


2、一元二次方程根的概念；
【知识储备】


知识点一：（一）问题（1）古算趣题：“执竿进屋”


笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。


有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。


借问竿长多少数，谁人算出我佩服。


如果假设门竹竿的长为x尺，那么，这个门的宽为(x-4)尺，长为(x-2)尺，


根据题意，得；


整理得；


化简，得．


因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．


比较一元二次方程和一元一次方程的相同点和不同点



一元一次方程



一元二次方程




相同点



一元、整式方程
一元、整式方程




不同点



未知数的最高次数是一次
未知数的最高次数是二次







一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．


一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．


例1、将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．


分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．





注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.


例2、（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．


分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．


例3、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．


分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．


证明：m2-8m+17=（m-4）2+1


∵（m-4）2≥0


∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0


∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．


知识点二：问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-12x+20=0


列表：


x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…

x2-12x+20
9
0
-7
-12
-15
-16
-15
-12
-7
0
9
…

问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44


x
1
2
3
4
5
6
…

x2+7x






…

列表：





使一元二次方程 左右两边相等 的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.


求方程的解的过程，叫做解方程.


一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．


回过头来看：x2-12x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．


例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？


-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．


分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．


解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．





例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值


练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值


点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.





例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？


（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0


分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．


例4：如下图，有一块矩形铁皮．长100 cm．宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？





设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100―2x) cm，宽为(50―2x) cm．根据方盒的底面积为3 600 cm2，得


(100―2x)(50―2x)＝3 600．


整理，得


4x2―300x＋1 400＝0.


化简，得


x2―75x＋350＝0．
【当堂小测】


下列方程是一元二次方程吗？


①x2+5x-7 ②5x2 +5x=5 x2+8


③ a x2+bx+c=0(a、b、c为常数a≠0)


④(x+ 2 )(x- 5 )=7 ⑤px 2+qx+m=0


⑥x2 +5x +7=0 ⑦x2 +1/x=3


⑧3x2 +4xy-5=0 ⑨ x2-3/4x-1/2=0 ⑩3 x2+5x=7





填空题


①(m-1)x2 -x=1是一元二次方程,则m的取值范围为＿＿


②若关于x的方程（k-2） -3kx+6k-5=0是一元二次方程,则k＿＿＿它的二次项系数为＿＿＿一次项系数为＿＿ 常数项为＿＿（注意：一元二次方程中隐含了二次项系数不为０的条件）



【课后作业】


1．下列方程是一元一次方程的是( )





2、下列方程是否一元二次方程








3、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：


1. 3x (x - 1) = 5 (x + 2)


2. x² + 5 = x (2x - 5)


3. -3x (x - 6) = -5 - 18x








4、要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?











5、某市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式(即每两个选手之间都赛一场)，半决赛共进行了6场．假设共有 x人进入半决赛，则可得关于x的方程______________











6、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。