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初中数学人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角教案设计
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这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角教案设计，共10页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。
24. 1 圆的有关性质
第 3 课时
教材分析
教材分析
本节是新人教版九年级上册数学第24章《圆》的内容，本节要求掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题.
教学目标
教学目标
解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题.
学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题.
培养学生积极探索数学问题的态度及方法.
教学重难点
【教学重点】
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.
【教学难点】
探索定理和推导及其应用.
课前准备
多媒体课件；
教学过程
一、提出问题，思考引入
问题1 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
它的对称中心是圆心.
圆是中心对称图形，
问题2 圆绕圆心旋转任意一个角度后，能与原来的图形重合吗？
能.（这是圆的一个特有性质，我们称之为圆的旋转不变性）.
二、合作交流，探究新知
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
在同圆中探究
在等圆中探究
活动1
1. 按下面的步骤做一做：
(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；
(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定.
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合.
图1
(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合.
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由.
(课件：探究三量关系)
师生活动设计：
教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知.
在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB=A′B′.
进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等.
师生活动设计：
本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题.
活动2：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
师生活动设计：
小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图.
如图2所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′.
图2
教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉.
小结：弦、圆心角、弧三量关系.
活动3：
1．如图3，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC.
图3
学生活动设计：
学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由，得到，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC.
教师活动设计：
这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法.
〔证明〕∵
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形.
又 ∠ACB＝60°，
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC.
2．如图4，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数.
图4
学生活动设计：
学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝×180°＝120°.
教师活动设计：
此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加辅助线OC的原因.
三、运用新知
四、巩固新知
1. 填一填： 如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦．
（1）如果AB = CD，那么___________， ．
（2）如果弧AB = 弧CD ，那么____________， ．
（3）如果∠AOB =∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？
2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC = 弧CD= 弧DE ， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
3. 做一做
（1）如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
（2）弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .
4. 如图，已知 AB、CD 为⊙O的两条弦，弧AD = 弧BC,求证: AB ＝ CD.
5. 能力提升：
如图，在⊙O中，2∠AOB =∠COD，那么弧CD = 2弧AB 成立吗？CD = 2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
五、归纳小结
教学反思
略.
24. 1 圆的有关性质
第 3 课时
教材分析
教材分析
本节是新人教版九年级上册数学第24章《圆》的内容，本节要求掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题.
教学目标
教学目标
解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题.
学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题.
培养学生积极探索数学问题的态度及方法.
教学重难点
【教学重点】
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.
【教学难点】
探索定理和推导及其应用.
课前准备
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问题1 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
它的对称中心是圆心.
圆是中心对称图形，
问题2 圆绕圆心旋转任意一个角度后，能与原来的图形重合吗？
能.（这是圆的一个特有性质，我们称之为圆的旋转不变性）.
二、合作交流，探究新知
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
在同圆中探究
在等圆中探究
活动1
1. 按下面的步骤做一做：
(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；
(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定.
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合.
图1
(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合.
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由.
(课件：探究三量关系)
师生活动设计：
教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知.
在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB=A′B′.
进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等.
师生活动设计：
本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题.
活动2：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
师生活动设计：
小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图.
如图2所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′.
图2
教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉.
小结：弦、圆心角、弧三量关系.
活动3：
1．如图3，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC.
图3
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教师活动设计：
这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法.
〔证明〕∵
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形.
又 ∠ACB＝60°，
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC.
2．如图4，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数.
图4
学生活动设计：
学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝×180°＝120°.
教师活动设计：
此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加辅助线OC的原因.
三、运用新知
四、巩固新知
1. 填一填： 如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦．
（1）如果AB = CD，那么___________， ．
（2）如果弧AB = 弧CD ，那么____________， ．
（3）如果∠AOB =∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？
2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC = 弧CD= 弧DE ， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
3. 做一做
（1）如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
（2）弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .
4. 如图，已知 AB、CD 为⊙O的两条弦，弧AD = 弧BC,求证: AB ＝ CD.
5. 能力提升：
如图，在⊙O中，2∠AOB =∠COD，那么弧CD = 2弧AB 成立吗？CD = 2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
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